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大学数学基礎解説

極座標のナブラ及びラプラシアンの簡単な導出

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初投稿です。

はじめに

３次元の極座標のラプラシアンの計算、嫌ですよね？
一度は地道に計算した人を前提としますが、かなり面倒だったと思います。

私は物理出身ですので、厳密性とかはともかく適当に求めたくて、しばらく考えてかなり楽な方法を思いつきました。

Step1

まず定義から
位置ベクトルr→=e→xx+e→yy+e→zz
とします。

３次元のナブラ

３次元直交座標系では以下のようになります。
∇→=∂∂r→=e→x∂∂x+e→y∂∂y+e→z∂∂z

３次元極座標

{x=rsin⁡θcos⁡φy=rsin⁡θsin⁡φz=rcos⁡θ(0≤r<∞0≤θ≤π0≤φ≤2π)

Step2 準備

唯一の面倒なパートです。

rについて

∂r→∂r=e→xsin⁡θcos⁡φ+e→ysin⁡θsin⁡φ+e→zcos⁡θ
‖∂r→∂r‖=1

(1)e→r=∂r→∂r
(2)∂er→∂r=0

θについて

∂r→∂θ=e→xrcos⁡θcos⁡φ+e→yrcos⁡θsin⁡φ−e→zrsin⁡θ
‖∂r→∂θ‖=r
(3)e→θ=1r∂r→∂θ
(4)∂eθ→∂θ=−e→xsin⁡θcos⁡φ−e→ysin⁡θsin⁡φ−e→zcos⁡θ=−e→r

φについて

∂r→∂φ=−e→xrsin⁡θsin⁡φ+e→yrsin⁡θcos⁡φ
‖∂r→∂φ‖=rsinθ
(5)e→φ=1rsinθ∂r→∂φ
(6)∂eφ→∂φ=−e→xcos⁡φ−e→ysin⁡φ=−e→rsin⁡θ−e→θcos⁡θ

Step3 ナブラを求める

ここで大胆なことをします。
∂r→∂a⋅∂∂r→=∂∂a(a=r,θ,φ)
これと(1), (3), (5)を用いて、
(7)∂∂r→=e→r∂∂r+e→θ1r∂∂θ+e→φ1rsin⁡θ∂∂φ
これでナブラが求まりました。

Step4 ついにラプラシアンへ、、

３次元のラプラシアン

３次元直交座標系では以下のようになります。
△=∇→⋅∇→=∂∂r→⋅∂∂r→=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2

式(7)で求めた∇→を変形します。
基底ベクトルと偏微分の交換を行っていきます。
(2), (4), (6)を用いて
∇→⋅∇→=e→r⋅∂∂r∇→+e→θ1r⋅∂∂θ∇→+e→φ1rsin⁡θ⋅∂∂φ∇→=∂∂r(e→r⋅∇→)−(∂∂re→r)⋅∇→+1r∂∂θ(e→θ⋅∇→)−1r(∂∂θe→θ)⋅∇→+1rsin⁡θ∂∂φ(e→φ⋅∇→)−1rsin⁡θ(∂∂φe→φ)⋅∇→=∂∂r(e→r⋅∇→)+1r∂∂θ(e→θ⋅∇→)+1re→r⋅∇→+1rsin⁡θ∂∂φ(e→φ⋅∇→)−1rsin⁡θ(−e→rsin⁡θ−e→θcos⁡θ)⋅∇→=∂∂r(e→r⋅∇→)+1r∂∂θ(e→θ⋅∇→)+2re→r⋅∇→+1rsin⁡θ∂∂φ(e→φ⋅∇→)+cos⁡θrsin⁡θe→θ⋅∇→
最後に∇→に式(7)を代入します。
e→r,e→θ,e→φがそれぞれ直交していることを用いると、

∇→⋅∇→=∂2∂r2+1r2∂2∂θ2+2r∂∂r+1r2sin2⁡θ∂2∂φ2+cos⁡θr2sin⁡θ∂∂θ

これで3次元極座標でのラプラシアンが求まりました。

最後に

いくらか省略しましたが、暗算でできる範囲だと思います。
多分赤字下の計算が厳密には証明しないといけないです。

投稿日：2023年11月2日
更新日：2023年11月2日
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極座標のナブラ及びラプラシアンの簡単な導出
  1. はじめに
  2. Step1
  3. Step2 準備
  4. Step3 ナブラを求める
  5. Step4 ついにラプラシアンへ、、
  6. 最後に