初投稿です。
3次元の極座標のラプラシアンの計算、嫌ですよね?
一度は地道に計算した人を前提としますが、かなり面倒だったと思います。
私は物理出身ですので、厳密性とかはともかく適当に求めたくて、しばらく考えてかなり楽な方法を思いつきました。
まず定義から
位置ベクトル
とします。
3次元直交座標系では以下のようになります。
唯一の面倒なパートです。
ここで大胆なことをします。
これと(
これでナブラが求まりました。
3次元直交座標系では以下のようになります。
式(
基底ベクトルと偏微分の交換を行っていきます。
(
最後に
これで3次元極座標でのラプラシアンが求まりました。
いくらか省略しましたが、暗算でできる範囲だと思います。
多分赤字下の計算が厳密には証明しないといけないです。