初投稿です。
3次元の極座標のラプラシアンの計算、嫌ですよね?
一度は地道に計算した人を前提としますが、かなり面倒だったと思います。
私は物理出身ですので、厳密性とかはともかく適当に求めたくて、しばらく考えてかなり楽な方法を思いつきました。
まず定義から
位置ベクトル$\vec{\mathbf r} =\vec{\mathbf e}_x x+\vec{\mathbf e}_y y+\vec{\mathbf e}_z z$
とします。
3次元直交座標系では以下のようになります。
$\vec\nabla={\partial\over\partial \vec{\mathbf r}}=\vec{\mathbf e}_x{\partial\over\partial x}+\vec{\mathbf e}_y{\partial\over\partial y}+\vec{\mathbf e}_z{\partial\over\partial z}$
$ \begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases} \quad \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \end{pmatrix} $
唯一の面倒なパートです。
$${\partial \vec{\mathbf r}\over\partial r} =\vec{\mathbf e}_x\sin\theta\cos\varphi+\vec{\mathbf e}_y \sin\theta\sin\varphi+\vec{\mathbf e}_z \cos\theta $$
$\left\|{\partial \vec{\mathbf r}\over\partial r}\right\| = 1 $
$$\vec{\mathbf e}_r={\partial \vec{\mathbf r}\over\partial r} \tag{1}\label{r1}$$
$${\partial \vec{\mathbf e_r}\over\partial r} =0 \tag{2}\label{r2}$$
${\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \theta} =\vec{\mathbf e}_x r\cos\theta\cos\varphi+\vec{\mathbf e}_y r\cos\theta\sin\varphi-\vec{\mathbf e}_z r\sin\theta $
$\left\|{\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \theta}\right\| = r$
$$\vec{\mathbf e}_\theta={1\over r} {\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \theta}\tag{3}\label{theta1}$$
$$ {\partial \vec{\mathbf e_\theta}\over\partial \theta} =-\vec{\mathbf e}_x\sin\theta\cos\varphi-\vec{\mathbf e}_y \sin\theta\sin\varphi-\vec{\mathbf e}_z \cos\theta = -\vec{\mathbf e}_r\tag{4}\label{theta2}$$
${\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \varphi} =-\vec{\mathbf e}_x r\sin\theta\sin\varphi+\vec{\mathbf e}_y r\sin\theta\cos\varphi $
$\left\|{\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \varphi}\right\| = rsin\theta$
$$\vec{\mathbf e}_\varphi={1\over rsin\theta}{\partial \vec{\mathbf r}\over\partial \varphi} \tag{5}\label{phi1}$$
$${\partial \vec{\mathbf e_\varphi}\over\partial \varphi} =-\vec{\mathbf e}_x\cos\varphi-\vec{\mathbf e}_y \sin\varphi= - \vec{\mathbf e}_r \sin\theta- \vec{\mathbf e}_\theta \cos\theta\tag{6}\label{phi2}$$
ここで大胆なことをします。
$${\partial \vec{\mathbf r}\over\partial a}\cdot{\partial\over\partial \vec{\mathbf r}} ={\partial \over\partial a}\qquad(a=r,\theta,\varphi)$$
これと(\ref{r1}), (\ref{theta1}), (\ref{phi1})を用いて、
$${\partial\over\partial \vec{\mathbf r}}=\vec{\mathbf e}_r{\partial\over\partial r}+\vec{\mathbf e}_\theta{1\over r}{\partial\over\partial \theta}+\vec{\mathbf e}_\varphi{1\over {r\sin\theta}}{\partial\over\partial \varphi}\tag{7}\label{nabla}$$
これでナブラが求まりました。
3次元直交座標系では以下のようになります。
$
\triangle=\vec\nabla\cdot\vec\nabla={\partial\over\partial \vec{\mathbf r}}\cdot {\partial\over\partial \vec{\mathbf r}}={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}
$
式(\ref{nabla})で求めた$\vec\nabla$を変形します。
基底ベクトルと偏微分の交換を行っていきます。
(\ref{r2}), (\ref{theta2}), (\ref{phi2})を用いて
$$\begin{align}\vec{\nabla}\cdot \vec{\nabla}&=\vec{\mathbf e}_r\cdot {\partial\over\partial r}\vec{\nabla}+\vec{\mathbf e}_\theta{1\over r}\cdot {\partial\over\partial \theta}\vec{\nabla}+\vec{\mathbf e}_\varphi{1\over {r\sin\theta}}\cdot {\partial\over\partial \varphi}\vec{\nabla}\\
&={\partial\over\partial r}(\vec{\mathbf e}_r\cdot\vec{\nabla})-({\partial\over\partial r}\vec{\mathbf e}_r)\cdot\vec{\nabla}+{1\over r}{\partial\over\partial \theta}(\vec{\mathbf e}_\theta\cdot\vec{\nabla})-{1\over r}({\partial\over\partial \theta}\vec{\mathbf e}_\theta)\cdot\vec{\nabla}\\
&\qquad+{1\over {r\sin\theta}}{\partial\over\partial \varphi}(\vec{\mathbf e}_\varphi\cdot\vec{\nabla})-{1\over {r\sin\theta}}({\partial\over\partial \varphi}\vec{\mathbf e}_\varphi)\cdot\vec{\nabla}\\
&={\partial\over\partial r}(\vec{\mathbf e}_r\cdot\vec{\nabla})+{1\over r}{\partial\over\partial \theta}(\vec{\mathbf e}_\theta\cdot\vec{\nabla})+{1\over r}\vec{\mathbf e}_r\cdot\vec{\nabla}\\
&\qquad+{1\over {r\sin\theta}}{\partial\over\partial \varphi}(\vec{\mathbf e}_\varphi\cdot\vec{\nabla})-{1\over {r\sin\theta}}(- \vec{\mathbf e}_r \sin\theta- \vec{\mathbf e}_\theta \cos\theta)\cdot\vec{\nabla}\\
&={\partial\over\partial r}(\vec{\mathbf e}_r\cdot\vec{\nabla})+{1\over r}{\partial\over\partial \theta}(\vec{\mathbf e}_\theta\cdot\vec{\nabla})+{2\over r}\vec{\mathbf e}_r\cdot\vec{\nabla}+{1\over {r\sin\theta}}{\partial\over\partial \varphi}(\vec{\mathbf e}_\varphi\cdot\vec{\nabla})+{\cos\theta\over {r\sin\theta}}\vec{\mathbf e}_\theta \cdot\vec{\nabla}
\end{align}$$
最後に$\vec{\nabla}$に式(\ref{nabla})を代入します。
$\vec{\mathbf e}_r, \vec{\mathbf e}_\theta, \vec{\mathbf e}_\varphi$がそれぞれ直交していることを用いると、
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{\nabla}={\partial^2\over\partial r^2}+{1\over r^2}{\partial^2\over\partial \theta^2}+{2\over r}{\partial\over\partial r}+{1\over {r^2\sin^2\theta}}{\partial^2\over\partial \varphi^2}+{\cos\theta\over {r^2\sin\theta}}{\partial\over\partial \theta}$$
これで3次元極座標でのラプラシアンが求まりました。
いくらか省略しましたが、暗算でできる範囲だと思います。
多分赤字下の計算が厳密には証明しないといけないです。