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極座標のナブラ及びラプラシアンの簡単な導出

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初投稿です。

はじめに

3次元の極座標のラプラシアンの計算、嫌ですよね?
一度は地道に計算した人を前提としますが、かなり面倒だったと思います。

私は物理出身ですので、厳密性とかはともかく適当に求めたくて、しばらく考えてかなり楽な方法を思いつきました。

Step1

まず定義から
位置ベクトルr=exx+eyy+ezz
とします。

3次元のナブラ

3次元直交座標系では以下のようになります。
=r=exx+eyy+ezz

3次元極座標

{x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ(0r<0θπ0φ2π)

Step2 準備

唯一の面倒なパートです。

rについて

rr=exsinθcosφ+eysinθsinφ+ezcosθ
rr=1

(1)er=rr
(2)err=0

θについて

rθ=exrcosθcosφ+eyrcosθsinφezrsinθ
rθ=r
(3)eθ=1rrθ
(4)eθθ=exsinθcosφeysinθsinφezcosθ=er

φについて

rφ=exrsinθsinφ+eyrsinθcosφ
rφ=rsinθ
(5)eφ=1rsinθrφ
(6)eφφ=excosφeysinφ=ersinθeθcosθ

Step3 ナブラを求める

ここで大胆なことをします。
rar=a(a=r,θ,φ)
これと(1), (3), (5)を用いて、
(7)r=err+eθ1rθ+eφ1rsinθφ
これでナブラが求まりました。

Step4 ついにラプラシアンへ、、

3次元のラプラシアン

3次元直交座標系では以下のようになります。
==rr=2x2+2y2+2z2

式(7)で求めたを変形します。
基底ベクトルと偏微分の交換を行っていきます。
(2), (4), (6)を用いて
=err+eθ1rθ+eφ1rsinθφ=r(er)(rer)+1rθ(eθ)1r(θeθ)+1rsinθφ(eφ)1rsinθ(φeφ)=r(er)+1rθ(eθ)+1rer+1rsinθφ(eφ)1rsinθ(ersinθeθcosθ)=r(er)+1rθ(eθ)+2rer+1rsinθφ(eφ)+cosθrsinθeθ
最後にに式(7)を代入します。
er,eθ,eφがそれぞれ直交していることを用いると、

=2r2+1r22θ2+2rr+1r2sin2θ2φ2+cosθr2sinθθ

これで3次元極座標でのラプラシアンが求まりました。

最後に

いくらか省略しましたが、暗算でできる範囲だと思います。
多分赤字下の計算が厳密には証明しないといけないです。

投稿日:2023112
更新日:2023112
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  2. Step1
  3. Step2 準備
  4. Step3 ナブラを求める
  5. Step4 ついにラプラシアンへ、、
  6. 最後に