ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$2$次複素正方行列のなす位相空間$M_2(\mathbb{C})$の部分空間
$$
X:=\{A\in M_2(\mathbb{C})|A^2=1,A\neq\pm1\}
$$
を考える。ここで
$$
S^3:=\{(t,u)\in\mathbb{R}\times\mathbb{C}|t^2+|u|^2=1\}
$$
とおく。ここで$A$は固有値$\pm1$を持つが、この$1$に関する固有ベクトル$\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$を$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$を満たすようにとり、$f(A):=(|\alpha|^2-|\beta|^2,2\overline{\alpha}\beta)$と定義する。
(1) $f$は$\alpha,\beta$の取り方に依らずに、写像$f:X\to S^2$を定めていることを示せ。
(2) $f:X\to S^2$は連続写像であることを示せ。
(3) 任意の$p\in S^2$に対して、$f^{-1}(p)$は$\mathbb{R}^2$と同相であることを示せ。