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東大数理院試過去問解答例(2023B07)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B07

2次複素正方行列のなす位相空間M2(C)の部分空間
X:={AM2(C)|A2=1,A±1}
を考える。ここで
S3:={(t,u)R×C|t2+|u|2=1}
とおく。ここでAは固有値±1を持つが、この1に関する固有ベクトル(αβ)|α|2+|β|2=1を満たすようにとり、f(A):=(|α|2|β|2,2αβ)と定義する。
(1) fα,βの取り方に依らずに、写像f:XS2を定めていることを示せ。
(2) f:XS2は連続写像であることを示せ。
(3) 任意のpS2に対して、f1(p)R2と同相であることを示せ。

  1. まず(α,β)t{z||z|2=1}の元倍の違いを除いて一意に定まる。ここで(α,β)=(zα,zβ)とおくと、
    f(α,β)=(|zα|2|zβ|2,2zαzβ)=(|α|2|β|2,2αβ)=f(α,β)
    であるから、fは関数XR×C(α,β)tに依らず定めている。また
    (|α|2|β|2)2+4|α|2|β2|=(|α|2+|β|2)2=1
    であるからfの像はS2に含まれている。以上から結果が従う。
  2. まずXの開部分集合
    U={(xyzw)X|(x,y)(1,0)}
    V={(xyzw)X|(z,w)(0,1)}
    をとる。このときAU及びAVに対して
    f(A)=(|y|2|1x|2|y|2+|1x|2,2y(1x)|y|2+|1x|2)
    f(A)=(|1w|2|z|2|1w|2+|z|2,2(1w)z|1w|2+|z|2)
    と表せるから、fA=UV上連続関数である。
  3. まずp=(t,u)を固定する。初めに(t,u)(±1,0)の場合を考える。ここで連続写像F:R2M2(C)
    F(rcosθ,rsinθ)={(11+t1trei(θargu)reiθ21+t1tei(argu)1+t1trei(θ2argu)1+1+t1trei(θargu))(r0)(1021+t1teiargu1)(r=0)
    とおく。この写像の像に含まれる行列の固有多項式はX21であり、この1に関する固有ベクトルは
    (1t21+t2eiargu)
    で与えられ、これは成分の二乗和が1になっていて、しかも
    |1t2|2|1+t2eiargu|2=t
    21t21+t2eiargu=u
    であるから、Fは連続単射写像F:R2f1(p)を定義する。一方f1(p)の元
    (abcd)bからa,c,dが一意的に定まることを考慮すると、
    G:f1(p)R2(areiθcd)(rcosθ,rsinθ)
    によって連続逆写像が与えられている。以上から同相f1(p)R2が得られる。次に(t,u)=(1,0)(resp. (1,0))のときを考える。このとき(α,β)=(1,0)(resp. (0,1))であり、これを固有値1の固有ベクトルに持つようなXの行列は
    (1b01)(resp.(10c1))
    限られる。よって同相f1(±1,0)R2が従う。

 

投稿日:20231031
更新日:20231124
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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