有限集合上のσ加法族の元は2のべき乗個になる

1.の証明
任意の$x\in \Omega$をとるとき，$\Omega \in \mathcal{A}$であるから，$x \in A$なる$A \in \mathcal{A}$が必ず存在する．それらすべての共通部分$M_x=\bigcap_{A \in \mathcal{A}, x \in A}A$は$\mathcal{A}$に属し，かつ$Atom(\mathcal{A})$に属する．実際，$M_x$は$x$を元に持つから空でないし，$B \subsetneq M_x , B \neq \varnothing$なる$B$が存在するとき，$x \in B$ならば$M_x$の最小性に反するし，$x \notin B$ならば$C=M_x \setminus B \in \mathcal{A}$は$C \subsetneq M_x$を満たし，これはまた$M_x$の最小性に反する．

2.の証明
任意の異なる$A , B \in Atom(\mathcal{A})$について，$A \cap B \subsetneq A$であり，$\mathcal{A}$は交叉について閉じているので，$A \cap B \in \mathcal{A}$．従って，$Atom(\mathcal{A})$の定義により$A \cap B=\varnothing$

3.の証明
1.の証明の$M_x$を用いれば，
$$ \Omega \subset \sum_{x \in \Omega}M_x $$
より明らか．

$$ \Phi(I) = \bigcup_{A \in I}A \quad (I \subseteq Atom(\mathcal{A})) $$
によって$\Phi$を定めれば，$\Phi$は単射である．実際，$\Phi(I)=\Phi(J)$ならば，$x \in \Phi(I) \Rightarrow x \in \Phi(J)$．任意の$A \in I$についてある$x \in A$をとれば，補題2の2.により$x \in B$なる$B \in J$が一意に定まり，$A=B$．即ち$I \subseteq J$．逆の包含関係も同様．
また，任意の$B \in \mathcal{A}$について，$I_B=\{A \in Atom(\mathcal{A}) \ | \ A \subseteq B\}$をとる．このとき，補題2の2. 3.により任意の$x \in B$についてある$A_x \in Atom(\mathcal{A})$がただ一つ存在して，$x \in A_x$．さらに，$A_x \nsubseteq B$と仮定すれば，$A_x \cap B \subsetneq A_x$かつ$A_x\cap B \in \mathcal{A}$となり，原子の定義により$A_x \cap B$は空でなければならないが，$x\in A_x$かつ$x \in B$であるから矛盾．よって$A_x \subseteq B$が成り立ち，$A_x \in I_B$となり，$x \in \bigcup_{I_B}A$．即ち$B \subseteq \bigcup_{A\in I_B}A$．よって
$$ B=\bigcup_{A\in I_B}A $$
が成り立ち，$\Phi$は全射でもある．

$k=\# Atom(\mathcal{A})$と定めれば，補題2の1.により$k>0$．また，補題3により　
$$ \# \mathcal{A}=\# \mathcal{P}\{Atom(\mathcal{A})\}=2^k $$

$A \in \mathcal{A}$について，その指示関数$\chi_A : \Omega \to \mathbb{F}_2$を以下のように定める．ただし，$\mathbb{F}_2$を2元体とする．
$$ \begin{equation} \chi_A(x) = \begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \notin A) \end{cases} \end{equation} $$
このとき，$V=\{\chi_A \ | \ A \in \mathcal{A}\}$は$\mathbb{F}_2$上の有限次元線型空間となることを示す．
$\Omega$を定義域とし，$\mathbb{F}_2$を値域とする写像全体$\mathbb{F}_2^\Omega=\{f \ | \ f:\Omega\to\mathbb{F}_2\}$は，$\Omega$が有限集合であるから，$2$を法とする和および通常のスカラー倍において有限次元線形空間をなす．このとき，$V \subseteq \mathbb{F}_2^\Omega$であるから，$V$が$\mathbb{F}_2^\Omega$の部分空間となることを示せば十分．
$\varnothing\in\mathcal{A}$より$0=\chi_\varnothing\in V$．また，$\chi_A , \chi_B \in V$について
$$ \chi_A+\chi_B=\chi_{A\Delta B} \in V \quad (A \Delta BはAとBの対称差) $$
さらに
$$ 0 \cdot \chi_A=\chi_\varnothing \in V \ , \ 1 \cdot \chi_A=\chi_A \in V $$
が成り立ち，$V$は$\mathbb{F}_2^\Omega$の部分空間となる．このとき，写像$\Phi : \mathcal{A} \to V \ , \ A \mapsto \chi_A$は全単射であるから，$k=\dim V$とするとき，
$$ \#\mathcal{A}=\#V=2^k $$