Artin局所環からring of dual numbersへの全射

主張

$k$は代数的閉体, 有限$k$代数$R$はArtin局所環とし, $R$は体ではないとする.
このとき, $k$代数の全射準同型$R \to k[\epsilon]/(\epsilon^2)$が存在する.

証明

多項式環からの全射$k$代数準同型$k[X_1,\dots, X_m]\to R$をとる. 核を$I$とすれば, $k[X_1,\dots, X_m]/I\to R$は同型. $R$は体ではないので, $I$は極大イデアルではない. この同型をひとつとり固定し, 以下$R= k[X_1,\dots, X_m]/I$とする.
$I$を含む極大イデアルを$\mathfrak{m}$とする. Hilbertの零点定理から$\mathfrak{m}=(X_1-a_1,\dots, X_m-a_m)$ ($a_i\in k$)という形をしている.
$\mathfrak{m}\neq I$であるから, 必要なら番号を付け替えて, $X_1-a_1 \notin I$とする.
$J:=I+((X_1-a_1)^2,X_2-a_2, \dots, X_m-a_m)\subset \mathfrak{m}$
とし, 自然な射影を$\pi:R \to k[X_1,\dots,X_m]/J$とする. これと同型
$$ k[X_1,\dots,X_m]/J \to k[\epsilon]/(\epsilon^2), \ X_1-a_1\mapsto \epsilon, X_j \mapsto a_j (j\neq 1)$$
の合成$R\to k[\epsilon]/(\epsilon^2)$は$k$代数の全射準同型である.