ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2024午前01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2024午前01
を以上の自然数とする。次正方行列を
で定める。
(1) の最小多項式を求めなさい。
(2) の固有値をすべて求め、各固有値についての固有空間の次元も求めなさい。
(3) のランクを求めなさい。
- ここではをと表す。とき
であり、
なので
が最小多項式である。一方のときはが最小多項式である。 - 固有値は最小多項式の根であるから、の固有値は及びである。ここでのときに関する固有空間は
のかたちの元個を全て含み、についての固有空間は
のかたちの元を含む。よって固有空間の次元はのとき、のときである。一方のとき固有値に関する固有空間の次元はである。 - まずのときはを固有値に持たない。またのときはの固有空間が次元以上ある。よってのランクはである。一方のとき、
の固有値に関する固有空間が次元であることから、の固有値に関する固有空間の次元はである。よってのランクはである。以上から
である。