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そこそこ美しい等式 atan(1)+atan(2)+atan(3)=π

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そこそこ美しい等式

数学では様々美しい等式がある。時々思い出す等式について書く。

atan(1)+atan(2)+atan(3)=π
という式が成り立つ。
ここで、atany=tanθの逆関数のある分枝で、θ=atan(y),0<θ<π,atan=π2とみなす。

また、

atan(1)+atan(12)+atan(13)=π2という式も成り立つ

図で説明すると、
atanの不思議 atanの不思議
である。

ある一般化を考えてみた

atan(A)+atan(B)+atan(C)=πatan(A)+atan(B)+atan(C)=π2が成り立つようなA,B,Cを求める

説明
α+β+γ=π α+β+γ=π
原点Oの周りに角α,γ,βがあって、
α+γ+β=πとなっているとする。
A=tanα,B=tanβ,C=tanγとする
原点Oと点P1(1,0)を直角に接する一辺とする
αになる角を含む直角三角形OP1P2について、
P1P2=A
なので斜辺は
OP2=1+A2
直角三角形OP2P3を考えると、
P2P3=B1+A2
直角三角形P2P5P3OP1P2と相似なので、
P2P5=B, P5P3=AB
直角三角形OP4P3
OP4=AB1,P4P3=A+B
tanγ=A+BAB1となるのでC=A+BAB1となる。
α+β+γ=π/2 α+β+γ=π/2
原点Oの周りに角α,γ,βがあって、
α+γ+β=π2となっているとする。
A=tanα,B=tanβ,C=tanγとする
原点Oと点P1(1,0)を直角に接する一辺とする
αになる角を含む直角三角形OP1P2について、
P1P2=A
なので斜辺は
OP2=1+A2
直角三角形OP2P3を考えると、
P2P3=B1+A2
直角三角形P2P4P3OP1P2と相似なので
P2P4=B, P4P3=AB
P5P3=1AB,OP5=A+B
tanγ=1ABA+B
C=1ABA+Bとなることがわかる。

(別の求め方)複素平面で考える

原点の周りの角度は、複素数の偏角に対応していることを利用する。
Z=(1+Ai)(1+Bi)(1+Ci)
=(1AB+(A+B)i)(1+Ci)
=(1ABBCCA)+(A+B+CABC)i)

  1. atan(A)+atan(B)+atan(C)=πとなるのは
    Zが実数になるとき、つまり虚部が0になるときなので、
    A+B+CABC=0
    Cについて解くとC=A+BAB1である
  2. atan(A)+atan(B)+atan(C)=π2となるのは
    Zが純虚数になるとき、つまり実部が0になるときなので、
    1ABBCCA=0
    Cについて解くとC=1ABA+Bである

逆にA,B,C=A+BAB1であれば、atan(A)+atan(B)+atan(C)=π

0<A<π,0<B<π,AB>1とするとき
atan(A)+atan(B)+atan(A+BAB1)=π

A=tanα,B=tanβとする。
以下の2つの事実を使う。

  • tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=tanα+tanβ1tanαtanβ
    tanの加法定理)
  • 0<γ<πに対して
    tan(πγ)=sin(πγ)cos(πγ)=sinγcosγ=tanγ
    なのでatan(tanγ)=πγ

atan(A)+atan(B)+atan(A+BAB1)
=α+β+atan(A+BAB1)
=atan(tan(α+β))+atan(A+BAB1)
=atan(tanα+tanβ1tanαtanβ)+atan(A+BAB1)
=atan(A+B1AB)+atan(A+BAB1)
=πatan(A+BAB1)+atan(A+BAB1)
=π

図にすると、単位半円弧上の2点と原点を結ぶ直線とx軸がなす3つの角と2直線の傾き(各点からの隣の線分への各垂線の長さ)の関係である。
半円上の2点と原点を結ぶ線とx軸のなす角度 半円上の2点と原点を結ぶ線とx軸のなす角度

逆にA,B,C=1ABA+Bであれば、atan(A)+atan(B)+atan(C)=π/2

atan(A)+atan(B)+atan(1ABA+B)=π2

A=tanα,B=tanβとする。

  • 0<γ<π2に対して
    tan(π2γ)=sin(π2γ)cos(π2γ)=cosγsinγ=1tanγ
    なのでatan(1tanγ)=π2γ

を使う。

atan(A)+atan(B)+atan(1ABA+B)
=α+β+atan(1ABA+B)
=atan(tan(α+β))+atan(1ABA+B)
=atan(tanα+tanβ1tanαtanβ)+atan(1ABA+B)
=atan(A+B1AB)+atan(1ABA+B)
=π2atan(1ABA+B)+atan(1ABA+B)
=π2

こちらも、図で描くと第一象限の四分円弧上の2点と原点を結ぶ直線と、x軸とy軸がなす3つの角と直線の傾き(各点からの隣の線分への各垂線の長さ)の関係である。
四分円上の2点と原点を結ぶ線とx軸y軸のなす角度 四分円上の2点と原点を結ぶ線とx軸y軸のなす角度

3つの数A,B,A+BAB1について

半円弧の2点と原点を結ぶ直線の図でも明らかだが、
C=A+BAB1とすると、
C(AB1)=A+B
A(BC1)=B+C
A=B+CBC1
同様に
B=C+ACA1
となるので、1つが他の2の数の同様な対称式で表せる。
3つの数が対称的になっている。
実際、
atan(A)+atan(B)+atan(C)=π
は左辺の和を並べ替えても変わらないことを考えても3つの数は対称的になっている。
3つの角を複素数の偏角として考えたときの積(1+Ai)(1+Bi)(1+Ci)の虚部が0の式
A+B+CABC=0
A+B+C=ABC
和と積が一致するというとても特徴的な対称性を持っている。

A+B+C=ABCを満たす、3つの異なる数A,B,A+BAB1=Cがすべて正整数になるのは、これらの値が1,2,3の並べ替えだけである。
(A,B,C)=(1,2,3) or (1,3,2) or (2,1,3) or (2,3,1) or (3,1,2) or (3,2,1)

C=A+BAB1=A+B(A1)(B1)+(A+B)2
D:=(A1)(B1)2とする。
C=A+B+DDA+B+D=1DA+B+D

  1. A=1,B>3の場合
    D=2
    C=1+2B1なので1<C<2
    Cは整数ではない。

  2. A>1,B>3の場合
    D=(A1)(B1)232=1>0
    C=1DA+B+D<1
    Cは整数ではない。

A,Bを入れ替えてもこれまでの事が成り立つから、A3,B3である。

A=1,B=2の時、C=321=3
A=1,B=3の時、C=431=2
A=2,B=3の時、C=561=1
Cの式で、A,Bは対称的なので入れ替えてもCは同じなので、(A,B,C)は、
(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)のどれか∎

atan(1)+atan(2)+atan(3)=π
を一般化して、
atan(A)+atan(B)+atan(C)=π,C=A+BAB1
を考えたが、正整数という条件を付けると、結局並べ替えを除いて同じ式
atan(1)+atan(2)+atan(3)=π
に戻ってきてしまい、この式の美しさが際立っていることが分かった。
では、
atan(1)+atan(12)+atan(13)=π2
に関しての一般化、
atan(A)+atan(B)+atan(C)=π2,C=1ABA+B
についても同様に以下が成り立つ。

atan(1a)+atan(1b)+atan(1c)=π2
3つの異なる数a,b,cがすべて正整数になるのは、これらの値が1,2,3の並べ替えだけである。
(a,b,c)=(1,2,3) or (1,3,2) or (2,1,3) or (2,3,1) or (3,1,2) or (3,2,1)

証明
C=1ABA+B
A=1a,B=1b,C=1cを代入すると、
1c=11a1b1a+1b=ab1b+a
c=a+bab1
a,b,cは上で示したものと全く同じ形の3つ組になるので、条件を満たすものは1,2,3の並べ替えだけである。∎

atan(A)+atan(B)+atan(C)=π2の方の式も、ある意味atan(A)+atan(B)+atan(C)=πの式と同じことだったのである。
別々の式atan(1)+atan(2)+atan(3)=πatan(1)+atan(12)+atan(13)=π2とがつながった。
そして、これらの美しい等式は「偶然」ではない背景を感じさせてくれる。
正整数に限れば、最初の3つの数だけが満たす関係式という意味でも美しかったことが分かった。

終わりに

逆正接に関する一見たまたま成り立つ美しいと思える関係式から初等的知識で考えるだけでも結構面白いと思える事実が分かった。何か更なる背景があるのかもしれない。有識者から見れば当たり前の事なのかもしれないが、一人遊び的にこれだけでも十分に楽しむことができた。数学は少ない知識でも結構遊ぶことができるのがとても素晴らしい。

投稿日:20241031
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  1. そこそこ美しい等式
  2. ある一般化を考えてみた
  3. 3つの数$A,B,\frac{A+B}{A B -1}$について
  4. 終わりに