定積分：King Property：twitterでみた定積分
目的
Twitterで見かけた定積分をKing Propertyを使って解く。
問題
Twitterで見かけた問題は以下の通り
The Wi-Fi password is the first 10 digits of the answer.
解法
King Propertyから$$
\begin{eqnarray}
\\2I &=& \int_{-2}^{2} (x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} + ((-x)^3 cos(-x/2)+1/2)\sqrt{4-(-x)^2} dx
\\ &=& \int_{-2}^{2} (x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} + (-x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} dx
\\ &=& \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx
\end{eqnarray}
$$ $x=2sin(t)$で置換して$dx=2cos(t)dt$。よって$$
\begin{eqnarray}
2I &=& \int_{-π/2}^{π/2} \sqrt{4-4sin^2(t)}2cos(t) dt
\\ &=& 4 \int_{-π/2}^{π/2} cos^2(t) dt
\end{eqnarray}
$$ ここで$cos^2(t)$は偶関数。よって
$$
\begin{eqnarray}
2I &=& 4 \int_{-π/2}^{π/2} cos^2(t) dt
\\ &=& 8 \int_{0}^{π/2} cos^2(t) dt
\\ &=& 8 \int_{0}^{π/2} \cfrac{1+cos(2t)}{2} dt
\\ &=& 4 \int_{0}^{π/2} 1+cos(2t) dt
\\ &=& 4 [t+\cfrac{sin(2t)}{2}]_{0}^{π/2}
\\ &=& 4 (π/2+0-0)
\\ &=& 2π
\\ \therefore I&=&π
\end{eqnarray}
$$よって$π$の最初の10桁なのでpasswordは$$
\\ "3141592653"
$$となる。
