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定積分:King Property:twitterでみた定積分

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$$\newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray}} $$

目的

Twitterで見かけた定積分をKing Propertyを使って解く。

問題

Twitterで見かけた問題は以下の通り

$\displaystyle{ \int_{-2}^{2} (x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} dx }$
The Wi-Fi password is the first 10 digits of the answer.

解法

King Propertyから$$ \begin{eqnarray} \\2I &=& \int_{-2}^{2} (x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} + ((-x)^3 cos(-x/2)+1/2)\sqrt{4-(-x)^2} dx \\ &=& \int_{-2}^{2} (x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} + (-x^3 cos(x/2)+1/2)\sqrt{4-x^2} dx \\ &=& \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray} $$ $x=2sin(t)$で置換して$dx=2cos(t)dt$。よって$$ \begin{eqnarray} 2I &=& \int_{-π/2}^{π/2} \sqrt{4-4sin^2(t)}2cos(t) dt \\ &=& 4 \int_{-π/2}^{π/2} cos^2(t) dt \end{eqnarray} $$ ここで$cos^2(t)$は偶関数。よって
$$ \begin{eqnarray} 2I &=& 4 \int_{-π/2}^{π/2} cos^2(t) dt \\ &=& 8 \int_{0}^{π/2} cos^2(t) dt \\ &=& 8 \int_{0}^{π/2} \cfrac{1+cos(2t)}{2} dt \\ &=& 4 \int_{0}^{π/2} 1+cos(2t) dt \\ &=& 4 [t+\cfrac{sin(2t)}{2}]_{0}^{π/2} \\ &=& 4 (π/2+0-0) \\ &=& 2π \\ \therefore I&=&π \end{eqnarray} $$よって$π$の最初の10桁なのでpasswordは$$ \\ "3141592653" $$となる。

投稿日:20201112

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zeta
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