Krull-Schmidt圏では任意の射が右極小な射とゼロ射に分けられる

1. $\Rightarrow$ (2): もし$f$が同型なら、その逆射を考えれば$1_X - f^{-1} f = 0$となり、$0$射が可逆となるが、これは$X$が直既約に矛盾する。

2. $\Rightarrow$ (1): 任意に$g \colon Y \to X$をとったとき、$1_X - gf$が$X$の自己同型ならよい。もしそうでないなら、$\End_\CC(X)$が局所環なことに注意すると、$gf$が同型となり、$f$がsectionとなる。しかし$Y$は直既約なことから、section $f \colon X \to Y$は同型でなければならず、(2)に反する。

$X = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_n$を直既約分解を取る。このとき$f$は成分表示
$$ f = [f_1, f_2, \dots, f_n] \colon X_1 \oplus \cdots \oplus X_n \to Y $$
される。ここで$f_i \colon X_i \to Y$である。アイデアは、$f$を$X$の同型射でひねって、できるだけゼロが成分に多く出るようにし、それが$X''$、残りを$X'$とすれば求めるものになっている。

正確に述べよう。$\{ f \psi \, | \, \text{$\psi$は$X$の自己同型}\}$という集合を考える（集合になっている）。この集合の各元に対し、上のような成分表示ができるが、ここで「成分表示したとこに現れる$0$の個数が最大となるような$f \psi$」が取れる。$\psi$は同型射なので、$f$を$f\psi$に取り替えることで、$f$は次のような性質を満たすと仮定してよい：
（仮定）「$f$を成分表示すると、
$$ f = [f_1,\dots,f_m, 0, \dots,0] \colon X_1 \oplus \cdots \oplus X_m \oplus X_{m+1} \oplus \cdots \oplus X_n \to Y $$
となっており、どのような$X$の自己同型を前から合成しても、それを成分表示して$0$を更に増やすことはできない」

さてこのとき、$f':= [f_1,\dots,f_m] \colon X_1 \oplus \cdots \oplus X_m \to Y$が右極小であることを示せば、定理が示される。そのため$\varphi \in \End_\CC(X_1\oplus \cdots \oplus X_m)$をとり$f' \varphi = f'$と仮定する。導きたいのは$\varphi$が同型なことである。

$\varphi$は$m\times m$行列で表現される:
$$ \varphi = \begin{bmatrix} \varphi_{1,1} & \varphi_{1,2} & \cdots & \varphi_{1,m} \\ \varphi_{2,1} & \varphi_{2,2} & \cdots & \varphi_{2,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \varphi_{m,1} & \varphi_{m,2} & \cdots & \varphi_{m,m} \end{bmatrix} \colon X_1 \oplus \cdots \oplus X_m \to X_1 \oplus \cdots \oplus X_m $$
ここで、主張: 「$\varphi_{i,j}$は、$i=j$のとき同型射、$i \neq j$のとき根基に属する」ことをまず示す。
まず$f' \varphi = f'$を行列で表せば次の等式が得られる:
$$ \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \dots & f_m\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \dots & f_m\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_{1,1} & \varphi_{1,2} & \cdots & \varphi_{1,m} \\ \varphi_{2,1} & \varphi_{2,2} & \cdots & \varphi_{2,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \varphi_{m,1} & \varphi_{m,2} & \cdots & \varphi_{m,m} \end{bmatrix} $$
ここで第1成分を計算して移行すると次が得られる:
$$ f_1 (1_{X_1} - \varphi_{1,1}) = 0 $$
今$\varphi_{1,1} \in \End_\CC(X_1)$であり、$\End_\CC(X_1)$は局所環だった（Krull-Schmidt圏より）ことを思い出そう。局所環の性質から、もし$\varphi_{1,1}$は同型でないとすると、$1_{X_1} - \varphi_{1,1}$は同型になる。すると、上の等式の右から$1_{X_1} - \varphi_{1,1}$の逆元をかけることができ、
$$ f_1 = f_2 \varphi_{2,1}' + \dots + f_m \varphi_{m,1}' $$
というような表示を持つ、つまり$f_1$が他の$f_2,\dots, f_m$の和でかける。すると、次の等式がなりたつ:
$$ [f_1,f_2, \dots, f_m] \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\varphi'_{2,1} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ -\varphi'_{m,1} & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} = [0,f_2, \dots, f_m] $$
この真ん中の行列は対角成分が恒等射である下三角行列なので同型射であり、これは最初の（仮定）に矛盾する。よって$\varphi_{1,1}$は同型射である。同様にして$\varphi_{2,1}$は非同型であることが分かる（もし同型ならば上と同様$f_2$を他の$f_i$たちの線形結合でかけ、矛盾する）。よってKrull-Schmidt圏の根基の特徴づけにより、$\varphi_{2,1}$は根基に属する。
よって主張が示された。

主張により、$\varphi$が「modulo 根基で」可逆な対角行列になっている。正確には、$X':= X_1 \oplus \cdots \oplus X_m$とおき、$\varphi \in \End_\CC(X')$について、根基での剰余への射影$\End_\CC(X') \twoheadrightarrow \End_\CC(X')/\rad \End_\CC(X')$で$\varphi$を送ると、対角成分が同型な対角行列、つまり$\End_\CC(X')/\rad \End_\CC(X')$での可逆元となる（ここで厳密には根基が両側イデアルであること、つまり根基に属する元を成分に持つ行列が根基にはいること、また環の根基とのcompatibilityを用いた）。よって次の補題を用いることで$\varphi$は同型なことが従い、定理が示された。

$\Lambda/\rad \Lambda$における$\overline{x}$の逆元$\overline{y}$をとると、$1-xy \in \rad\Lambda$, $1-yx \in \rad\Lambda$が成り立つ。よって根基の性質により$xy$と$yx$は可逆元となり、$x$は可逆元となる。

$f$の右極小バージョンを2つとり、簡単のため$f_1 \colon X_1 \to Y$と$f_2 \colon X_2 \to Y$とおく（上の証明で出てきた$X$の直既約分解とは関係ないことに注意）。すると直和因子への射影$r_i \colon X \twoheadrightarrow X_i$について、$f = f_1 r_1 = f_2 r_2$が成り立つ。直和因子への埋め込みを$s_i \colon X_i \hookrightarrow X$とすると、次が成り立つ:
$$ f_1 = f_1 r_1 s_1 = fs_1 = f_2 r_2 s_1, $$
$$ f_2 = f_2 r_2 s_2 = f s_2 = f_1 r_1 s_2. $$
見やすくするため$a:= r_2 s_1 \colon X_1 \to X_2$, $b:= r_1 s_2 \colon X_2 \to X_1$とすると、つまり$f_1 = f_2 a$, $f_2 = f_1 b$がなりたつ。よって、
$$ f_1 = f_2 a = f_1(ba), $$
$$ f_2 = f_1 b = f_2(ab) $$
が成り立つ。各$f_i$が右極小だったことから、$ba$と$ab$がともに同型なことが分かり、ここから$a$と$b$が同型なことが従う。

1. $\Rightarrow$ (2):
   直既約対象$A$とsection $\iota \colon A \hookrightarrow X$を任意にとり、$f\iota = 0$とすると、すなわち$f$は$[0,f'] \colon A \oplus B \to Y$という形の射に同型である。この射に、$B$への射影子$A \oplus B \twoheadrightarrow B \hookrightarrow A\oplus B$を合成しても変わらないので、$B$への射影子が同型、つまり$A=0$であり矛盾。

2. $\Rightarrow$ (1):
   主定理の証明では、$f$を「できるだけゼロを多くくくりだす」ことで、それを取り除いて右極小バージョンが構成できた。しかし(2)の仮定よりゼロをそもそも取り出すことができない。よって$f$は始めから右極小である。

1つ前の特徴づけを用いる（簡単な証明をご存じの方はお知らせください）ので、任意に直既約対象$A$とsection $\iota \colon A \hookrightarrow X_1 \oplus X_2$をとってきて$(f_1 \oplus f_2) \iota = 0$とする。$\iota = [\iota_1,\iota_2]^t$と行列表示できるが、すると$f_1 \iota_1 = 0, f_2 \iota_2 = 0$が従う。ここで次の補題から$\iota_1$と$\iota_2$のいずれかはsectionである。よって$f_1$あるいは$f_2$が右極小なことから矛盾する。

$f \in \rad_\CC(A,X)$をとる。もし$f$がsectionであるならば$\rad_\CC(A,X)$に入らないことは、対応するretractionをとれば根基の定義からすぐに分かる。逆に、$f$が$\rad_\CC(A,X)$に入らないとしよう。すると$X$を直既約分解して$f$を成分表示したとき、根基に属さない成分が必ずある。これはKrull-Schmidt圏の根基の特徴づけにより同型射であり、この逆射を用いて用意に$f$のretractionを構成できる。よって$f$はsectionである。

後半の主張は、もし$\iota_1,\iota_2$がともにnon-sectionなら、2つの射は根基に属し、根基がイデアルなことより$[\iota_1,\iota_2]^t$も根基に属し、これは$[\iota_1,\iota_2]^t$がnon-sectionを意味し矛盾する。

右近似$D_X \to X$の右極小バージョンを取ればよいことが容易に確認できる。一意性も近似の定義と右極小性よりすぐに分かる。

$T_1 \oplus T_2 \in \XX * \YY$とする。すなわち、triangle $X \to T_1 \oplus T_2 \to Y \to$であり$X \in \XX$と$Y\in\YY$を満たすものがある。示したいのは$T_1$と$T_2$がともに$\XX*\YY$に属することである。

このとき$\CC(\XX,Y) = 0$なことから、$X \to T_1 \oplus T_2$は右$\XX$近似であることが$\CC(\XX,-)$で長完全列を伸ばして容易にわかる。このことから、この射に$T_1$や$T_2$への射影を合成したものが$T_1$と$T_2$の右$\XX$近似であることも直ちに従う、すなわち$T_1$と$T_2$は右$\XX$近似を持つ。

一方、上の定理により、$\CC$がKrull-Schmidtなことから、$T_1$と$T_2$は極小右$\XX$近似$f_1 \colon X_1 \to T_1$と$f_2 \colon X_2 \to T_2$を持つ。また右極小射が直和で保たれることと、右近似が直和で保たれることから、$f_1 \oplus f_2$は$T_1 \oplus T_2$の極小右$\XX$近似である。

しかし、初めにとったtriangleに戻ると、その左の射$X \to T_1 \oplus T_2$は右$\XX$近似だったので、これの右極小バージョンも極小右$\XX$近似を与える。よって右極小$\XX$近似の一意性により、$X \to T_1 \oplus T_2$は射として次の形の射と同型である:
$$ f' := \begin{bmatrix} f_1 & 0 & 0 \\ 0 & f_2 & 0 \end{bmatrix} \colon X_1 \oplus X_2 \oplus X_3 \to T_1 \oplus T_2 $$

ここでさらに$f_1$と$f_2$をtriangleに伸ばし、$X_1 \to T_1 \to Y_1 \to$, $X_2 \to T_2 \to Y_2 \to $とすると（まだ$Y_i \in \YY$は保証されてない）、この直和と自明なtriangle $X_3 \to 0 \to X_3[1] \to X_3[1]$ の直和として、$f'$をtriangleに伸ばすと次の形をしているはずである:
$$ X_1 \oplus X_2 \oplus X_3 \to T_1 \oplus T_2 \to Y_1 \oplus Y_2 \oplus X_3[1] \to. $$
よって$Y$は$Y_1 \oplus Y_2 \oplus X_3[1]$に同型である。ここで$\YY$が直和因子で閉じることから、$Y_1,Y_2 \in \YY$が従う。このこととtriangle $X_i \to T_i \to Y_i \to $により、$T_i \in \XX*\YY$が従う。