環と圏のJacobson根基の特徴づけ

1. $\Rightarrow$ (2):
   まず左の場合、つまり$1_Y - fg \colon Y \to Y$が左逆射を持つとき、$1_X - gf$が左逆射を持つことを示します。
   仮定により$1_Y-fg$の左逆射$h$を取ります。と$h(1_Y - fg) = 1_Y$となります。ここで、実は$1_X + ghf$が$1_X - gf$の左逆射であることが以下の計算で分かります（$ghf$は合成可能なことに注意）：
   \begin{align} (1_X + g h f)(1_X - gf) &= (1_X - gf) + g hf (1_X - gf)\\ &= 1_X - gf + gh(f - fgf) \\ &= 1_X - gf + gh(1_Y - fg) f\\ & = 1_X - gf + g\circ h (1_Y - fg) \circ f\\ &= 1_X - gf + g \circ 1_Y \circ f\\ &= 1_X - gf + gf \\ &= 1_X \end{align}

キモは$f(1_X - gf) = (1_Y-fg)f$という変形です。よって$1_X - gf$は左逆射を持ちます。

同様に右の場合も示しましょう。同じく$1_Y - fg$が右逆射$h$を持つとき、$1_X+ghf$が$1_X - gf$の右逆射なことが、同じような次の計算で分かります：
\begin{align} (1_X - gf)(1_X + g h f) &= (1_X - gf) + (1_X-gf)gh f\\ &= 1_X - gf + (g - gfg) hf \\ &= 1_X - gf + g(1_Y - fg) h f\\ & = 1_X - gf + gf\\ &= 1_X \end{align}

2. $\Rightarrow$ (1):
   これは、すでに示した(1) $\Rightarrow$ (2)を、$X$と$Y$と$f$と$g$を交換して適応すれば従います。

明らかに次の同値が成り立ちます：

• 1. $\Leftrightarrow$ (1)$_L$かつ(1)$_R$
• 2. $\Leftrightarrow$ (2)$_L$かつ(2)$_R$
     また補題により次の同値も成り立ちます：
• (1)$_L$ $\Leftrightarrow$ (2)$_L$
• (1)$_R$ $\Leftrightarrow$ (2)$_R$
  よって、(1)$_L$かつ(2)$_L$$\Rightarrow$ (2)を示せば十分です（厳密には(1)$_R$かつ(2)$_R$$\Rightarrow$(1)についても示す必要がありますが、全く同様の議論で証明できますし、もしくはopposite categoryを取ればよいので省略します）。

(1)$_L$と(2)$_L$を仮定します。このとき、任意に$g \colon Y \to X$をとってきたとき、$1_X - gf$が可逆なことを示したいです。(1)$_L$より$1_Y - fg$には左逆射$h$を持ちますが、補題の証明により、次が成り立ちます：
$$ (1_X + ghf)(1_X - gf) = 1_X $$
これだけでは$1_X - gf$が左逆射を持つことしか言えていませんが、もう少し観察しましょう。いま(2)$_L$が成り立つので、(2)$_L$の$g$として$- g h \colon Y \to X$を適応することで、$1_X + ghf = 1_X - (-gh) f$は左逆射を持ちます（(2)$_L$の条件の任意性がミソです）。
ここで上の等式をもう一度みると、上の等式から$1_X + ghf$は右逆射$1_X - gf$を持ちますが、上の観察より左逆射も持ちます。よって$1_X + ghf$は可逆であり、これと上の等式から$1_X - gf$も可逆なことが従います。よって(2)が示せました。

定理Aにより、(1)$_L$から(2)$_R$が全て同値なことはすでに示した。

1. $\Rightarrow$ (3):
   単純右$\CC$加群$S$と、射$\varphi \colon \CC(-,Y) \to S$をとる。ここで、(3)の主張は、合成
   $$ \CC(-,X) \xrightarrow{\CC(-,f)} \CC(-,Y) \xrightarrow{\varphi} S $$
   の合成がゼロであることと同値であることが分かる（米田の補題の演習問題）（これは$\CC$が環の場合は、$\varphi(f) = 0$と$\CC \xrightarrow{f \cdot (-)}\CC \xrightarrow{\varphi} S$の合成がゼロなことが同値といっている、これは環論の練習問題）。

さて背理法で合成$\varphi \circ \CC(-,f)$がゼロじゃないとしよう。すると、$S$が単純であることから、$\varphi \circ \CC(-,f)$は全射でなければならない（通常の加群の場合と同様、常に加群の射の準同型による像が部分加群になることがチェックできるので）。とくに$Y$を変数に代入すると、次の合成が全射である。
$$ \CC(Y,X) \xrightarrow{f\circ (-)} \CC(Y,Y) \xrightarrow{\varphi_Y} S(Y) $$
ここで、$\varphi_Y(1_Y) = y \in S(Y)$という元を考える（米田により$\varphi$に対応するような元）。すると上の合成の全射性より、ある$g \colon Y \to X$が存在して、それが$y$に飛ぶ。つまり式で書くと、
$$ \varphi_Y(fg) = y = \varphi_Y(1_Y) $$
が成り立つ。移項して$\varphi_Y(1_Y - fg) = 0$がなりたつ。どこかで見た形ですね。
一方米田の補題の練習問題より、$\varphi_Y(1_Y - fg) \in S(Y)$は次の射に対応する。
$$ \CC(-,Y) \xrightarrow{\CC(-,1_Y - fg)} \CC(-,Y) \xrightarrow{\varphi} S $$
よって$\varphi_Y(1_Y - fg) = 0$は、この合成が$0$なことを意味する。

しかしここで(1)より、$1_Y - fg$は同型射である。よって米田埋め込みした$\CC(-,Y) \xrightarrow{\CC(-,1_Y -fg)} \CC(-,Y)$も同型射なので、$\varphi = 0$が導かれてしまう。これはそもそも$\varphi \circ \CC(-,f) \neq 0$という仮定に矛盾する。

以上より(3)が示された。

3. $\Rightarrow$ (1)$_R$:
   ここが一番大変です。証明が改良できそうな人は教えて下さい。

まず$\CC$が環の場合に証明を述べます。$1 - fg$が右逆を持てばよいですが、持たないと仮定します。すると、右イデアル$(1-fg)\CC$は$\CC$に一致しません（一致すれば右逆を持つので）。よって剰余$\CC/(1-fg)\CC$はゼロでない加群で、しかも有限生成加群なので、単純加群$S$へ全射を持ちます。ここで合成
$$ \CC \xrightarrow{f\cdot(-)} \CC \twoheadrightarrow \CC/(1-fg)\CC \twoheadrightarrow S $$
は(3)の仮定によりゼロ写像です。一番左から元$g$をとってchaseすると、
$$ g \mapsto fg \mapsto \overline{fg} \mapsto 0 $$
となりますが、剰余の構成より$\overline{fg} =\overline{1}$です。よって全射の合成$\CC \twoheadrightarrow \CC/(1-fg)\CC \twoheadrightarrow S$で$1$が$0$に飛ぶことが分かり、ここから$S = 0$が従い矛盾します。

以下の証明は、これを圏上の加群の場合に適応したものです（面倒な補題は後に押し付けます）。(1)を示したいので、任意に射$g \colon Y \to X$を取り、背理法により示すので$1_Y - fg$が右逆射を持たないと仮定します。ここで、次のような$\CC(-,Y)$の部分加群$L$を定義します（上で$(1-fg)\CC$に相当するもの）：
$L$を関手$\CC^{op} \to \Ab$で、$W \in \CC$について
$$ L(W) := \{ h \in \CC(W,Y) \,| \, \text{ある$h'$が存在し$h=(1-fg)h'$とかける} \} $$
を返すようなもの。これが$\CC(-,Y)$という右$\CC$加群の部分加群なことは容易にチェックできます。よって商加群$\CC(-,Y)/L$を定義することができます。

まず$\CC(-,Y)/L \neq 0$が成り立ちます。なぜなら、ゼロだとすると、$\CC(Y,Y) =L(Y)$が特に従いますが、左から$1_Y$を取れば、$L$の定義からこれはまさに$1_Y-fg$が右可逆なことが従うからです。

よって後で述べる補題により、ある単純右加群$S$への全射$\CC(-,Y)/L \twoheadrightarrow S$が取れます。ここで次の$\CC$加群の準同型の合成を考えます。
$$ \CC(-,X) \xrightarrow{\CC(-,f)} \CC(-,Y) \twoheadrightarrow \CC(-,Y)/L \twoheadrightarrow S $$
ここで(3)の仮定（と米田の補題の練習問題）より、この合成はゼロです。さて、$Y$を上に代入して$g$を一番左からとってchaseすると次のようになります。
$$ g \in \CC(Y,X)\, \mapsto \, fg \in \CC(Y,Y) \, \mapsto \overline{fg} \in \CC(Y,Y)/L(Y) \, \mapsto 0 \in S(Y) $$
ここで$L(Y)= (1_Y-fg) \End_\CC(Y) \leq \End_\CC(Y) = \CC(Y,Y)$が確かめられます。よって$\CC(Y,Y)/L(Y)$の中で$\overline{1_Y} = \overline{fg}$です。これに注意すると、次の合成
$$ \CC(Y,Y) \twoheadrightarrow \CC(Y,Y)/L(Y) \twoheadrightarrow S(Y) $$
で$1_Y$はゼロに飛ぶことが分かります。よって米田の補題により、
$$ \CC(-,Y) \twoheadrightarrow \CC(-,Y)/L \twoheadrightarrow S $$
がゼロ写像となり、これは$S$が単純加群（特にゼロでない）ことと矛盾します。

以上の長い背理法で、$1_Y -fg$が右逆射を持たないことが示せました。つまり(3) $\Rightarrow$ (1)$_R$が成り立ちます。

(4)については(3)の場合の完全なる双対なので、双対性から従うもしくは同様に証明できます。また(3)と(3)'の同値性や(4)と(4)'の同値性は米田の補題の簡単な練習問題です。くぅ～疲れましたw これにて完結です！

この補題は、環の場合には「任意の1元生成加群は単純加群へ全射を持つ」、さらに馴染み深い言い方では「任意の右イデアルはある極大右イデアルに含まれる」と同じ主張です。ですのでZornを使う必要があります……。が環の場合の証明を冷静に言い換えるだけです。

全射$\CC(-,Y) \twoheadrightarrow M$の核を$K \leq \CC(-,Y)$としましょう。これは$\CC(-,Y)$の部分加群です。いま$M$がゼロでないので$K \neq \CC(-,Y)$、つまり$K$は$\CC(-,Y)$の真の部分加群です。このとき次のposetに極大元があることを示します。
$$ \mathcal{Poset} = \{ A \, | \, \text{$A$は$\CC(-,Y)$の真の部分加群で$K$を含む}\} $$
もし$\mathcal{Poset}$に極大元があれば、それを$A'$とすれば、$K \leq A' < \CC(-,Y)$であり、部分加群の対応定理により$\CC(-,Y)/A'$は単純$\CC$加群です。よって全射$M \cong \CC(-,Y)/K \twoheadrightarrow \CC(-,Y)/A'$が求めるものです。

あとはZornの補題の演習問題です。まず$\mathcal{Poset}$は$K$が入っているので空でなく、$\mathcal{Poset}$の中の空でないchainをとったときのunionがまた$\mathcal{Poset}$に入っていればよいです。非自明なのは真部分加群のchainのunionが真の部分加群かどうかだけですが、これは通常の場合と同じく、真でなかったとしたら、chainに$Y$を代入して$\CC(Y,Y)$の元$1_Y$に注目すれば米田を考えてすぐ矛盾します（環の場合と同じく、$\CC(-,Y)$の部分加群が$1_Y$を含んでいたらその瞬間に$\CC(-,Y)$に一致します）。詳しくは演習問題とします。