行列の固有値、固有ベクトルの求め方と例題

目次

1.固有値の求め方

2.固有ベクトルの求め方

3.固有値と固有ベクトルの例題

固有値の求め方

n次正方行$A$について、
$$\det (A-\lambda I)=0$$

のとき,$\lambda$は行列$A$の固有値である.

固有ベクトルの求め方

固有値は固有ベクトルを使って求めます.上記に示した,
$$\det (A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0$$

に求めた固有値$\lambda$を代入し,等式が成り立つような$\overrightarrow{x}$を固有ベクトルと言います.

固有値の数だけ、それに対応する固有ベクトルが存在します.

固有値と固有ベクトルの例題

解答

公式$\det (A-\lambda I)=0$に行列$A$を代入すると,
$$\det (\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)-\lambda \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))=0$$

になります.この式を整理すると,$$\det \left(\begin{array}{cc}3-\lambda & 1\\ 2& 2-\lambda \end{array}\right)=0$$

$$⟺(3-\lambda )(2-\lambda )-1\times 2=0$$

$$⟺{\lambda }^2-5\lambda +4=0$$

$$⟺(\lambda -4)(\lambda -1)=0$$

よって,固有値$\lambda$は$4$と$1$になります.

次にそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます.

• 固有値$\lambda =4$のとき
  $$\det (A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0$$に$\lambda =4$と$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$を代入すると,

$$(\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\overrightarrow{x}=0$$

$$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)\overrightarrow{x}=0$$

の解なので固有ベクトルは$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$(の定数倍)

• 固有値$\lambda =1$のとき

$$\det (A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0$$

に$\lambda =1$と$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$を代入すると,

$$(\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\overrightarrow{x}=0$$

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\overrightarrow{x}=0$$

の解なので固有ベクトルは$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$(の定数倍)