行列の固有値、固有ベクトルの求め方と例題

目次

1.固有値の求め方

2.固有ベクトルの求め方

3.固有値と固有ベクトルの例題

固有値の求め方

n次正方行$A$について、
$$ \mathrm{det} ( \normalsize{A} - \lambda I )=0 $$

のとき,$\lambda$は行列$\normalsize{A}$の固有値である.

固有ベクトルの求め方

固有値は固有ベクトルを使って求めます.上記に示した,
$$ \mathrm{det} ( \normalsize{A} - \lambda I ) \overrightarrow{x}=0 $$

に求めた固有値$ \lambda　$を代入し,等式が成り立つような$ \overrightarrow{x} $を固有ベクトルと言います.

固有値の数だけ、それに対応する固有ベクトルが存在します.

固有値と固有ベクトルの例題

解答

公式$ \mathrm{det} ( \normalsize{A} - \lambda I )=0 $に行列$\normalsize{A}$を代入すると,
$$ \mathrm{det} (\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} )=0 $$

になります.この式を整理すると,$$ \mathrm{det} \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} =0 $$

$$ \Longleftrightarrow (3-\lambda)(2-\lambda)-1\times 2=0 $$

$$ \Longleftrightarrow \lambda^2-5\lambda+4=0 $$

$$ \Longleftrightarrow (\lambda-4)(\lambda-1)=0 $$

よって,固有値$\lambda$は$4$と$1$になります.

次にそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます.

• 固有値$\lambda=4$のとき
  $$ \mathrm{det} ( \normalsize{A} - \lambda I ) \overrightarrow{x}=0 $$に$\lambda=4$と$ \normalsize{A} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $を代入すると,

$$ (\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \overrightarrow{x}=0 $$

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \overrightarrow{ x } =0 $$

の解なので固有ベクトルは$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $(の定数倍)

• 固有値$\lambda=1$のとき

$$ \mathrm{det} ( \normalsize{A} - \lambda I ) \overrightarrow{x}=0 $$

に$\lambda=1$と$ \normalsize{A} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $を代入すると,

$$ (\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \overrightarrow{x}=0 $$

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \overrightarrow{ x } =0 $$

の解なので固有ベクトルは$ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $(の定数倍)