実はx^105-1の因数分解の係数に-2が出てくるのは複雑な計算しなくてもわかるのよ
円分多項式とは
円分多項式とその性質 - 高校数学の美しい物語
を見てください。そこに書いてある性質を使います。
$x^n-1=\displaystyle\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$を使います。
あと円分多項式は既約です。
つまり$x^n-1$の形の多項式の(有理数係数での)因数分解は円分多項式になります。
$x^{105}-1$の有理数係数での因数分解は$\Phi_{105}(x)$を考察すればいいですね。
$\Phi_{105}(x)$を変形させるよ
$105=3\times 5\times 7$だね～～
$$ \displaystyle \Phi_{105}(x)=\frac{(x^{105}-1)(x^{3}-1)(x^{5}-1)(x^{7}-1)}{(x^{15}-1)(x^{21}-1)(x^{35}-1)(x-1)}.$$
$x^n-1=\displaystyle\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$という式について、$n=3,5,7,15,21,35,105$の場合をうまいこと掛けたり割ったりする。
多項式の合同式
これから$\bmod x^8$で考えていきます。これから出てくる式の分母に$x^k-1$の形が出てきますが、$x^8$とは互いに素なのでそこまで気にしなくていいです。
ここら辺の厳密な話は環論を少し触れるとわかるんじゃないですかね。省略します。
計算
$\Phi_{105}(x)$の$x^7$の係数は$-2$。
$$ \begin{align} \Phi_{105}(x)&=\frac{(x^{105}-1)(x^{3}-1)(x^{5}-1)(x^{7}-1)}{(x^{15}-1)(x^{21}-1)(x^{35}-1)(x-1)}\\ &\equiv \frac{-1\cdot (x^{3}-1)(x^{5}-1)(x^{7}-1)}{(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (x-1)} \pmod{x^8} \\ &\equiv (x^3-1)(x^5-1)\cdot \frac{x^7-1}{x-1} \pmod{x^8} \\ &\equiv (-x^5-x^3+1)(x^6+\cdots+x+1)\pmod{x^8} \\ &\equiv -2x^7-\cdots \end{align}$$
参考文献について
鈴木治郎さんの論文で、任意の整数が円分多項式の係数として現れることが証明されています。
短い論文なのでぜひ。
この記事ではここで使われていた手法を使いました。
