6
大学数学基礎解説
文献あり

実はx^105-1の因数分解の係数に-2が出てくるのは複雑な計算しなくてもわかるのよ

732
0

円分多項式とは

円分多項式とその性質 - 高校数学の美しい物語 を見てください。そこに書いてある性質を使います。
xn1=dnΦd(x)を使います。
あと円分多項式は既約です。
つまりxn1の形の多項式の(有理数係数での)因数分解は円分多項式になります。
x1051の有理数係数での因数分解はΦ105(x)を考察すればいいですね。

Φ105(x)を変形させるよ

105=3×5×7だね~~

Φ105(x)=(x1051)(x31)(x51)(x71)(x151)(x211)(x351)(x1).

xn1=dnΦd(x)という式について、n=3,5,7,15,21,35,105の場合をうまいこと掛けたり割ったりする。

多項式の合同式

これからmodx8で考えていきます。これから出てくる式の分母にxk1の形が出てきますが、x8とは互いに素なのでそこまで気にしなくていいです。

ここら辺の厳密な話は環論を少し触れるとわかるんじゃないですかね。省略します。

計算

Φ105(x)x7の係数は2

Φ105(x)=(x1051)(x31)(x51)(x71)(x151)(x211)(x351)(x1)1(x31)(x51)(x71)(1)(1)(1)(x1)(modx8)(x31)(x51)x71x1(modx8)(x5x3+1)(x6++x+1)(modx8)2x7

参考文献について

鈴木治郎さんの論文で、任意の整数が円分多項式の係数として現れることが証明されています。
短い論文なのでぜひ。
この記事ではここで使われていた手法を使いました。

参考文献

[1]
Jiro Suzuki, On coefficients of cyclotomic polynomials, Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 1987, 279-280
投稿日:20201112
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

sioabb
sioabb
6
732
しおあびびだよ~

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. 円分多項式とは
  2. $\Phi_{105}(x)$を変形させるよ
  3. 多項式の合同式
  4. 計算
  5. 参考文献について
  6. 参考文献