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無矛盾性順序に関する注意

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数理論理学に於いてGödelの第二不完全性定理が成り立つような理論 (以下ではこのような理論をGödel的と言う) S,Uに対して相対的無矛盾性 (relativised consistency) というのが考えられることが多い。理論Tに於いて理論Uが理論Sに対して相対的無矛盾であるというのは「TSが無矛盾であると仮定したときUの無矛盾性が証明できる」ということである。すなわちTCon(S)Con(U)が成立することである。例えばGödelは構成可能宇宙の理論を用いて、PAに於いてZFC+GCHが理論ZFに対して相対的無矛盾であることを示している。さて相対的無矛盾性によって理論間に順序構造を入れることができ、それは以下のように定義される。

無矛盾性順序

Gödel的理論S,T,Uに対して二項関係UConTSTCon(S)Con(U)と定める。

任意のGödel的理論Tに対してConTは前順序になる。すなわち以下が成り立つ。

  1. 任意のGödel的理論Sに対してSConTSである。
  2. 任意のGödel的理論S,U,Vに対して、SConTUかつUConTVならばSConTVである。

明らか。

ではベースとなる理論を動かす、すなわちGödel的理論S,Uに対して「Sに於いてSが無矛盾であると仮定したときUの無矛盾性が証明できる」というのを考えるとどうなるだろうか。

無矛盾性順序??

Gödel的理論T,Sに対してSConTTCon(T)Con(S)
と定める。

Conは前順序にすらならない。
特にTConSConUであってTConUとならないようなGödel的理論T,S,Uが存在する。

第二不完全性定理が証明できるようなGödel的理論Tに対し

  • T0:=T+Con(T)+Con(T+Con(T))
  • T1:=T+¬Con(T)
  • T2:=T+Con(T)

とする。まず自明にT1Con(T1)Con(T)であり、対偶を取ればT1¬Con(T)¬Con(T1)であり、よってT1¬Con(T1)である。
このことから任意のGödel的理論Sに対してT1Con(T1)Con(S)、つまりSConT1であり、特にT0ConT1である。

Tは第二不完全性定理を示すことができるからTCon(T)¬PrT(Con(T))であり、よってTCon(T)Con(T1)。また明らかにTCon(T2)Con(T)であるからT2Con(T2)Con(T1)、よってT1ConT2である。

T2+Con(T2)に対して第二不完全性定理を適用するとT2+Con(T2)Con(T0)であり、よってT2Con(T2)Con(T0)、よってT0ConT2は成り立たない。

投稿日:20201112
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