数理論理学に於いてGödelの第二不完全性定理が成り立つような理論 (以下ではこのような理論をGödel的と言う) S,Uに対して相対的無矛盾性 (relativised consistency) というのが考えられることが多い。理論Tに於いて理論Uが理論Sに対して相対的無矛盾であるというのは「TでSが無矛盾であると仮定したときUの無矛盾性が証明できる」ということである。すなわちT⊢Con(S)→Con(U)が成立することである。例えばGödelは構成可能宇宙の理論を用いて、PAに於いてZFC+GCHが理論ZFに対して相対的無矛盾であることを示している。さて相対的無矛盾性によって理論間に順序構造を入れることができ、それは以下のように定義される。
Gödel的理論S,T,Uに対して二項関係U≤ConTSをT⊢Con(S)→Con(U)と定める。
任意のGödel的理論Tに対して≤ConTは前順序になる。すなわち以下が成り立つ。
明らか。
ではベースとなる理論を動かす、すなわちGödel的理論S,Uに対して「Sに於いてSが無矛盾であると仮定したときUの無矛盾性が証明できる」というのを考えるとどうなるだろうか。
Gödel的理論T,Sに対してS≤ConTをT⊢Con(T)→Con(S)と定める。
≤Conは前順序にすらならない。特にT≤ConS≤ConUであってT≤ConUとならないようなGödel的理論T,S,Uが存在する。
第二不完全性定理が証明できるようなGödel的理論Tに対し
とする。まず自明にT1⊢Con(T1)→Con(T)であり、対偶を取ればT1⊢¬Con(T)→¬Con(T1)であり、よってT1⊢¬Con(T1)である。このことから任意のGödel的理論Sに対してT1⊢Con(T1)→Con(S)、つまりS≤ConT1であり、特にT0≤ConT1である。
Tは第二不完全性定理を示すことができるからT⊢Con(T)→¬PrT(Con(T))であり、よってT⊢Con(T)→Con(T1)。また明らかにT⊢Con(T2)→Con(T)であるからT2⊢Con(T2)→Con(T1)、よってT1≤ConT2である。
T2+Con(T2)に対して第二不完全性定理を適用するとT2+Con(T2)⊬Con(T0)であり、よってT2⊬Con(T2)→Con(T0)、よってT0≤ConT2は成り立たない。
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