3

スカラー四重積

518
0

スカラー四重積を機械的な計算で証明します。


スカラー四重積
(a×b)(c×d)=(ac)(bd)(ad)(bc)

これの証明には以下の記号を使います。


定義1 Kroneckerのデルタ
δij={1 (i=j)0 (ij)

i,jは自然数であることが多いです。

定義2 Eddingtonのイプシロン
εijk={1((i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))1((i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1))0(otherwise)


これは3階のEddingtonのイプシロンです。

これらの記号について、以下の性質が成り立ちます。


(1)δij=δji(2)εijk=εjki=εkij=εikj=εjik=εkji(3)δijεijk=0(4)kδikδkj=δij(5)iεijkεilm=δjlδkmδjmδkl

証明はここではしないので気が向いたらしてみてください。

また、これらの記号を使うとベクトルの内積、外積は

ab=i,jδijaibj(a×b)i=j,kεijkbjck

と表されます。

それでは、これを使ってスカラー四重積を証明してみましょう。


(証明)
(a×b)(c×d)=i(a×b)i(c×d)i=i,j,k,l,mεijkεilmajbkcldm=j,k,l,m(δjlδkmδjmδkl)ajbkcldm=(ac)(bd)(ad)(bc)

何も考えずに証明できるので楽ですね。

投稿日:20201112
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

tria_math
tria_math
537
46489
大学2年生

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中