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大学数学基礎解説
スカラー四重積
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スカラー四重積を機械的な計算で証明します。
スカラー四重積
$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$
これの証明には以下の記号を使います。
定義1 Kroneckerのデルタ
$\displaystyle\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc}1\ (i=j)\\0\ (i\neq j)\end{array}\right.$
定義2 Eddingtonのイプシロン
$\displaystyle\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1&((i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))\\-1&((i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1))\\0&({\rm otherwise})\end{cases}$
これは3階のEddingtonのイプシロンです。
これらの記号について、以下の性質が成り立ちます。
$(1)\delta_{ij}=\delta_{ji} \\(2)\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij}=-\varepsilon_{ikj}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{kji} \\(3)\delta_{ij}\varepsilon_{ijk}=0 \\\displaystyle(4)\sum_{k}\delta_{ik}\delta_{kj}=\delta_{ij} \\(5)\displaystyle\sum_{i}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} $
証明はここではしないので気が向いたらしてみてください。
また、これらの記号を使うとベクトルの内積、外積は
$\displaystyle\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{i,j}\delta_{ij}a_ib_j \\\displaystyle(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i=\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}b_jc_k$
と表されます。
それでは、これを使ってスカラー四重積を証明してみましょう。
(証明)
$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}) \\\displaystyle=\sum_{i}(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_i \\\displaystyle=\sum_{i,j,k,l,m}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}a_jb_kc_ld_m \\\displaystyle=\sum_{j,k,l,m}(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})a_jb_kc_ld_m \\=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$
何も考えずに証明できるので楽ですね。
投稿日：2020年11月12日
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