スカラー四重積

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スカラー四重積を機械的な計算で証明します。

スカラー四重積

(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)

これの証明には以下の記号を使います。

定義1 Kroneckerのデルタ

δ_{i j} = {\begin{array}{ccc} 1 (i = j) \\ 0 (i \neq j) \end{array}

i, j

は自然数であることが多いです。

定義2 Eddingtonのイプシロン

ε_{i j k} = {\begin{cases} 1 & ((i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)) \\ - 1 & ((i, j, k) = (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)) \\ 0 & (o t h e r w i s e) \end{cases}

これは3階のEddingtonのイプシロンです。

これらの記号について、以下の性質が成り立ちます。

(1) δ_{i j} = δ_{j i} (2) ε_{i j k} = ε_{j k i} = ε_{k i j} = - ε_{i k j} = - ε_{j i k} = - ε_{k j i} (3) δ_{i j} ε_{i j k} = 0 (4) \sum_{k} δ_{i k} δ_{k j} = δ_{i j} (5) \sum_{i} ε_{i j k} ε_{i l m} = δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}

証明はここではしないので気が向いたらしてみてください。

また、これらの記号を使うとベクトルの内積、外積は

$a \cdot b = \sum_{i, j} δ_{i j} a_{i} b_{j} (a \times b)_{i} = \sum_{j, k} ε_{i j k} b_{j} c_{k}$

と表されます。

それでは、これを使ってスカラー四重積を証明してみましょう。

(証明)

(a \times b) \cdot (c \times d) = \sum_{i} (a \times b)_{i} (c \times d)_{i} = \sum_{i, j, k, l, m} ε_{i j k} ε_{i l m} a_{j} b_{k} c_{l} d_{m} = \sum_{j, k, l, m} (δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}) a_{j} b_{k} c_{l} d_{m} = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)

何も考えずに証明できるので楽ですね。

投稿日：2020年11月12日

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