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解説大学数学以上
オイラーの定数とアペリーの定数が登場する積分
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\begin{align*} \int_0^{\infty}\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x - 1}\right) dx~=~? \end{align*}
解説
$$\begin{align*} &\int_0^{\infty}\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x - 1}\right) dx \\ &= \int_0^{\infty} \left(\frac{x}{e^x} - \frac{x^2}{e^x - 1}\right) dx + \int_0^{\infty} \left(\frac{1}{xe^x} - \frac{1}{e^x - 1}\right) dx\\ &= \int_0^{\infty}xe^{-x} dx - \int_0^{\infty} \frac{x^2}{e^x - 1} dx - \gamma \\ &= \Gamma(1) - \Gamma(3)\zeta(3) - \gamma \\ &= 1 - 2\zeta(3) -\gamma \end{align*}$$
投稿日：2020年11月12日
更新日：2020年11月13日
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