斎藤正彦-線形代数学

斎藤正彦 - 線形代数学　行間うめ

解いたものからチョコチョコ書き足していきます．学生のこしらえものなので間違いがあるかもしれません．不適切な言明や間違いなどありましたらごめんなさい

chapter 5

section 2

5.2.7

chapter 6

$\S$1 線形空間と線形写像

6.1.8

$T(x) = Ax$とすると$T(x+y) = Ax + Ay = T(x) + T(y)$で表されるし，$T(\alpha x) = A(\alpha x) = \alpha Ax = \alpha T(x)$
$T(x) = x^TAx$とかだと$T(\alpha x) = \alpha^2 T(x)$であるからこれは線形写像ではない．
$0$は$V$のゼロ元なので$0+x = x$
$T$の線形性より$T(x+0) = T(x) + T(0)$
また$T(x+0) = T(x)$より$T(x) = T(x) + T(0)$よって$T(0)$は$V'$のゼロ元である

6.1.13

2. について$V \cong V'$かつ$V' \cong V''$であるとは，$V$から$V'$への同型写像$T_1$ また$V'$から$V''$への同型写像$T_2$が存在することを意味する．$V \cong V''$を示すには，$V$から$V''$への同型写像が存在することを示せば良い．ここで同型写像とはそれ自身が全単射であることだったから，$T_1, T_2$が共に全単射であればその合成写像$T_2 \circ T_1$が全単射であることを示せば良い．これを示すのは容易である．例えば 引用先p3命題5.1.3

引用　東京女子大学-新國先生の講義資料
https://www.lab.twcu.ac.jp/~nick/lecture/2013/bijection.pdf

6.1.14

1. 行列を縦に並べ替えただけ．行列とベクトルはもれなく一対一対応するので同型である．
2. 1.1.14で確かめたように$K^n$から$K^m$への線形写像は $m \times n$行列による写像ともれなく一対一対応するので同型である
3. $x$の$n$次から$0$次までの係数を取り出すだけの作業．これももれなく一対一対応するため同型

$\S$1の問題

問題1

(1)$|| {\bf a} || = 1$となる${\bf a}\in S$に対して$\bf b=-a$とすると${\bf b}\in V$であり$||{\bf b}|| = 1$であるから${\bf b} \in S$だが$|| {\bf a+b} || = || {\bf 0} || = 0$となり，${\bf a+b}\notin S$．和について閉じていないので$S$は$V$の部分空間ではない
(2)$Y\in V,\ AYB =C$を仮定する．$X+Y \in V$について$A(X+Y)B = AXB + AYB = C+C$である．これは一般の$C$については成り立たないが，$C=O$の場合のみ成立する．以降$C=O$とする．つまり$S=\{X\in V; AXB = O\}$.
例えば$X=O$は$AXB=O$を満たすので$S\neq \varnothing$．$S$の元は和について閉じていることは上で確認した．任意の$\alpha \in K $について$A(\alpha X)B = \alpha AXB = \alpha O = O$である．以上で部分空間の定義を満たすことが確認できた．
(3)部分空間ではない．反例：$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$はどちらもdeterminantが$0$であるがこれらの和の行列式は$1$となる．
(4)$f=0$を用意すれば$S$が空集合でないことを確認できる．和と積については積分の線形性より示すことができる
(5)同じく$f=0$を用意すれば空集合でないことが確認できる．$g \in S, \alpha \in K$について和と積が閉じていることを確認できる．

問題2

(1)$0\in W \land 0\in U$であるため$W\cap U$は空集合ではない
$\alpha, \beta \in K, x, y \in (W\cap U) \Rightarrow \alpha x,\beta y\in W \land \alpha x,\beta y \in U$
$\Rightarrow (\alpha x+\beta y) \in W \land (\alpha x+\beta y)\in U$
$\Rightarrow (\alpha x+\beta y) \in (W \cap U)$
となり和と積について閉じていることが示された
(2) (1)と同様に，$X$は空集合ではない．
$z_1, z_2 \in X$とするとそれぞれ対応する$x_1,x_2 \in W, y_1,y_2\in U$があって$z_1 = x_1 + y_1, z_2 = x_2 + y_2$とかける．そのため$z_1 + z_2 = (x_1 + y_1 ) + (x_2+y_2) = (x_1 + x_2)+(y_1+y_2)$
$(x_1+x_2)\in W, (y_1+y_2)\in U$であるため$(z_1 + z_2) \in X$である．
さらに$\alpha \in K$を考えると
$\alpha z_1 = \alpha (x_1 + y_1) = \alpha x_1 + \alpha y_1$であり，$\alpha z_1$も$X$の元であることが確認できた

問題3

(1)Yes
$T(x+y) = (x+y|b) = (x|b)+(y|b) = T(x) + T(y)$
$T(\alpha x) = (\alpha x|b) = \alpha ( x|b) = \alpha T(x)$
(2)No 反例:
$T(x+(-x)) = || 0 ||$
$T(x) + T(-x) = ||x|| + ||x||$
$x=0$の時しか$T(x+(-x)) = T(x) + T(-x)$が成り立たない
(3)$T(X+Y) = A(X+Y)B = AXB + AYB =T(X) + T(Y)$
$T(\alpha X) = A(\alpha X)B = \alpha AXB = \alpha T(X)$
(4)No 反例:
$T(\alpha X) = \alpha XA\alpha X = \alpha^2 T(X)$
ただし$A=O$の時のみ線形性が成り立つ
(5)No 反例:
$T\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+T\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = 0$だが
$T(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}) = T\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = 1$

問題4

$T[\cdot]$が何を表すかを考える．$T( \cdot )$が要素と要素を対応づけしていたのに対し$T[\cdot ]$は集合と集合の対応づけを行っている．
(1)$A$は$V$の部分空間だからそのゼロ元$0$を含み，$T(0)\in T[A]$それゆえに$T[A] \neq \varnothing$
次に$u,v\in T[A], \alpha \in K$を仮定する．$u,v$は$A$の何らかの要素の射影なので$u = T(x), v=T(y)$なる$x,y\in A$がある．$A$は部分空間を構成するので$x+y\in A$以上の事実から$u+v=T(x) + T(y) = T(x+y) = T(x+y) \in T[A]$また$\alpha u = \alpha T(x) = T(\alpha x) \in T[A]$であるから$T[A]$は部分空間を構成する
(2)$T(0)$は$V'$のゼロ元であるから$T(0)\in P$それゆえ$0\in T^{-1}[P]$であり$T^{-1}[P]\neq \varnothing$
$x,y\in T^{-1}[P], \alpha \in K$とすると$u=T(x), v=T(y)$なる$u,v\in P$があって$T(x+y) = T(x) + T(y) = u+v \in P$だから$x+y \in T^{-1}[P]$また$T(\alpha x) = \alpha u \in P$であるから$\alpha u \in P$となる．以上の事実より$T^{-1}[P]$は部分空間を構成する