現在地の緯度経度から任意の距離離れた緯度経度を求める方法

Vincenty法

Vincenty法は地球を回転楕円体として2点間の距離を近似する反復計算アルゴリズムである
このアルゴリズムには順解法と逆解法が存在する

順解法

始点座標と視点からの方位角、距離から終点座標を求めるアルゴリズム

逆解法

2点の座標から方位角と距離を求めるアルゴリズム
逆解法に関しては本テーマとはずれているため説明はしない

順解法の内容

定義

本記事では以下のように定義している

アルゴリズム

まず初めに以下の計算を行う
$$\begin{gathered} U_1=\arctan ((1-f)\tan {\varphi }_1) \\ {\sigma }_1=\arctan \left(\begin{array}{c}\frac{\tan U_1}{\cos {\alpha }_1}\end{array}\right) \\ \sin \alpha =\cos U_1\sin {\alpha }_1 \\ {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha \\ {u}^2={\cos }^2\alpha \frac{a^2-b^2}{b^2} \\ A=1+\frac{u^2}{16384}\{4096+u^2[-768+u^2(320-175u^2)]\} \\ B=\frac{u^2}{1024}\{256+u^2[-128+u^2(74-47u^2)]\} \end{gathered}$$
次に$\sigma =\frac{s}{bA}$で初期化し、以下の反復計算を収束するまで行う
$$\begin{gathered} 2{\sigma }_m=2{\sigma }_1+\sigma \\ \Delta \sigma =B\sin \sigma \{\cos \left(2{\sigma }_m\right)+\frac{1}{4}B[\cos \sigma (-1+2{\cos }^2(2{\sigma }_m))-\frac{1}{6}B\cos \left(2{\sigma }_m\right)(-3+4{\sin }^2\sigma )(-3+4{\cos }^2(2{\sigma }_m))]\} \\ \sigma =\frac{s}{bA}+\Delta \sigma \end{gathered}$$
$\sigma$が任意の精度まで収束したら以下の計算を行う
$$\begin{gathered} {\varphi }_2=\arctan \left(\begin{array}{c}\frac{\sin U_1\cos \sigma +\cos U_1\sin \sigma \cos {\alpha }_1}{(1-f)\sqrt{{\sin }^2\alpha +(\sin U_1\sin \sigma -\cos U_1\cos \sigma \cos {\alpha }_1{)}^2}}\end{array}\right) \\ \lambda =\arctan \left(\begin{array}{c}\frac{\sin \sigma \sin {\alpha }_1}{\cos U_1\cos \sigma -\sin U_1\sin \sigma \cos {\alpha }_1}\end{array}\right) \\ C=\frac{f}{16}{\cos }^2\alpha [4+f(4-3{\cos }^2\alpha )] \\ L=\lambda -(1-C)f\sin \alpha \{\sigma +C\sin \sigma [\cos \left(2{\sigma }_m\right)+C\cos \sigma (-1+2{\cos }^2(2{\sigma }_m))]\} \\ {L}_2=L+L_1 \\ {\alpha }_2=\arctan \left(\begin{array}{c}\frac{\sin \alpha }{-\sin U_1\sin \sigma +\cos U_1\cos \sigma \cos {\alpha }_1}\end{array}\right) \end{gathered}$$

終わりに

自力で計算するのはなかなか大変ですが、「こうゆう方法があるよ」という程度で覚えておくと後々役に立つかもしれません
今後、このアルゴリズムを実装したプログラムも紹介するつもりです