-確率-自作問題2

問題

(1)それぞれの2乗の和が1以下になるようにランダムに2つの実数を選ぶとき、2つの実数の和が1以下になる確率を求めよ。

(2)それぞれの2乗の和が1以下になるようにランダムに3つの実数を選ぶとき、3つの実数の和が1以下になる確率を求めよ。

(3)それぞれの2乗の和が1以下になるようにランダムに4つの実数を選ぶとき、4つの実数の和が1以下になる確率を求めよ。

解答

(1)
$ \begin{aligned} \displaystyle P_1 &= \displaystyle \frac{\text{面積}(x+y\le1 \text{ かつ } x^2+y^2\le1)}{\text{面積}(x^2+y^2\le1)} \\ \displaystyle &= \displaystyle \frac{\dfrac{3}{4}\pi + \dfrac{1}{2}}{\pi} \\ \displaystyle &= \boxed{\displaystyle \frac{3{\pi}+2}{4{\pi}}} \end{aligned} $

(2)
$ \begin{aligned} \displaystyle P_2 &= \displaystyle \frac{\text{体積}(x+y+z\le1 \text{ かつ } x^2+y^2+z^2\le1)}{\text{体積}(x^2+y^2+z^2\le1)} \\ \end{aligned} $

ここで、平面$p:x+y+z=1$の法線ベクトルの方向での積分を考えれば、原点と平面$p$の距離が$d=\dfrac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}$であるので、

\begin{aligned} \displaystyle P_2 &= \dfrac{\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{\sqrt3}}\pi(1-t^2) \mathrm{d}t}{\dfrac{4}{3}\pi}\\ &= \dfrac{\displaystyle\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{\frac{1}{\sqrt3}}}{\dfrac{4}{3}}\\ &= \dfrac{\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{9\sqrt3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)}{\dfrac{4}{3}}\\ &= \dfrac{\displaystyle \frac{8}{9\sqrt3}+\frac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}}\\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt3}} \end{aligned}

(3)

同様にこれを拡張すれば、

\begin{aligned} P_3 &= \dfrac{\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\dfrac{4}{3}\pi(1-t^2)^{\dfrac{3}{2}} \mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{3}\pi(1-t^2)^{\dfrac{3}{2}} \mathrm{d}t} \\ &= \dfrac{\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\cos^4\theta \, d\theta}{\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4\theta \, d\theta} \quad (t=\sin\theta)\\&= \dfrac{\displaystyle\left[\frac{3\theta}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}+\frac{\sin4\theta}{32}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}}{\displaystyle\left[\frac{3\theta}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}+\frac{\sin4\theta}{32}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}} \\&= \dfrac{\displaystyle\left(\frac{\pi}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{32}+\frac{3\pi}{16}\right)}{\displaystyle\frac{3\pi}{8}} \\&= \dfrac{\displaystyle\frac{\pi}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{32}}{\displaystyle\frac{3\pi}{8}} \\ &= \boxed{\dfrac{8\pi+9\sqrt3}{12\pi}} \end{aligned}