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大学数学基礎解説

神鳥さんの級数問題(5)

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神鳥奈紗さんの級数問題(5) https://mathlog.info/articles/530 を解いてみました。

\sum_{0 < a < b} \frac{(- 1)^{b}}{a^{2} b}

見た目がシンプルだけど見た目ほど簡単にはいきませんね。

以下、解答です。

\sum_{0 < a < b} \frac{(- 1)^{b}}{a^{2} b} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{m + n}}{m^{2} (m + n)} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{(- 1)^{m + n}}{m^{2} n} - \frac{(- 1)^{m + n}}{m n (m + n)})

それぞれの項について、

\sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{m + n}}{m^{2} n} = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{m^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} = \frac{π^{2}}{12} \log 2

\sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{m + n}}{m n (m + n)} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{m + n}}{m n} \int_{0}^{1} x^{m + n - 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{\log^{2} (1 + x)}{x} d x

\int_{0}^{1} \frac{\log^{2} (1 + x)}{x} d x = I

とおきます。

\int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x)}{x} d x = \int_{0}^{1} \frac{- \log x}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} = ζ (3)

\int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x)}{x (1 - x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x)}{x} d x + \int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x)}{1 - x} d x = ζ (3) + ζ (3) = 2 ζ (3)

従って、

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\log x \log (1 - x)}{x (1 - x)} d x = ζ (3)

x = \frac{t}{1 + t}

と置換すると、

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\log x \log (1 - x)}{x (1 - x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{\log \frac{t}{1 + t} \log (1 - \frac{t}{1 + t})}{\frac{t}{1 + t} (1 - \frac{t}{1 + t})} \frac{d t}{(1 + t)^{2}} = I - \int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 + x)}{x} d x = I - \int_{0}^{1} \frac{- \log x}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{n}}{n} d x = I - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{3}} = I + \frac{3}{4} ζ (3) = ζ (3)

よって、

I = \frac{ζ (3)}{4}

となったので、

\sum_{0 < a < b} \frac{(- 1)^{b}}{a^{2} b} = \frac{π^{2}}{12} \log 2 - \frac{ζ (3)}{4}

シンプルな見た目だけど計算が複雑で面白い問題でした。

投稿日：2020年11月12日

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