すごいζ(3)の級数

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$ζ (3)$ になるすごい級数がとある論文に書かれていたので, それについて書きたいと思います. それは以下のようなものです.
$\begin{array}{r} ζ (3) = \frac{1}{2} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1} (205 n^{2} - 160 n + 32)}{n^{5} {(\binom{2 n}{n})}^{5}} \end{array}$
これはやばいですね, なにがやばいかというと, まず, 二項係数が $5$ 乗になっているということです.
$\begin{array}{r} ζ (3) = \frac{5}{2} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} \end{array}$ という有名な公式がありますが, これは二項係数が分母についていますが, 二項係数は累乗になってないですね. そして, 二項係数の $2$ 乗ですら, そのような公式はほとんど見当たりません. (僕が知らないだけの可能性もありますね.) Gosperによる, 次のようなものもありますが, それは分母に $n$ の累乗以外に $2 n - 1$ というものがついてきてしまっています.
$\begin{array}{r} ζ (3) = \frac{1}{4} \sum_{0 < n} \frac{30 n - 11}{(2 n - 1) n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} \end{array}$ さて, 分母に二項係数が掛かっているほど収束速度が大きいということです. 試しに $5$ 項まで足し合わせて $ζ (3)$ の真の値と比較してみましょう.
$\begin{array}{rcl} ζ (3) & = & 1.2020569031595942853 \dots \\ \frac{1}{2} \sum_{0 < n \leq 5} \frac{(- 1)^{n - 1} (205 n^{2} - 160 n + 32)}{n^{5} {(\binom{2 n}{n})}^{5}} & = & \underset{―}{1.202056903159594} 9007 \dots \end{array}$ やばいですね. めっちゃ収束が速いです. これは実際に $ζ (3)$ の数値計算につかわれたりしたらしいですね. 証明にはWZ-methodというものをもちいます. これはコンピュータをつかうので, 基本的に人間がやるものではないです. いつかこういう二項係数が累乗になってる形の級数を扱える枠組みをつくりたいですね.