なしゃ君の級数問題05の解法

さっき, なしゃ君が出した問題( https://mathlog.info/articles/530 ) を解こう思います. まず, これは交代多重ゼータ値になっています,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt a\lt b}\frac{(-1)^b}{a^2b}=\zeta(2,\overline{1}) \end{eqnarray}$$
調和積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\overline{1})\zeta(2)&=&\zeta(\overline{1},2)+\zeta(2,\overline{1})+\zeta(\overline{3})\\ \zeta(\overline{1})\zeta(\overline{2})&=&\zeta(\overline{1},\overline{2})+\zeta(\overline{2},\overline{1})+\zeta(3) \end{eqnarray}$$シャッフル積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\overline{1})\zeta(2)=\zeta(\overline{1},\overline{2})+\zeta(\overline{2},\overline{1})+\zeta(\overline{1},2) \end{eqnarray}$$上の3つより,
$$\begin{eqnarray} \zeta(2,\overline{1})=\zeta(\overline{1})\zeta(\overline{2})-\zeta(3)-\zeta(\overline{3}) \end{eqnarray}$$ここで,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\overline{1})&=&-\ln 2\\ \zeta(\overline{2})&=&-\frac{\pi^2}{12}\\ \zeta(\overline{3})&=&-\frac{3}{4}\zeta(3) \end{eqnarray}$$をもちいて,
$$\begin{eqnarray} \zeta(2,\overline{1})=\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac 14\zeta(3) \end{eqnarray}$$となります. このように調和積とシャッフル積を両方つかうと, 大体の関係式は得ることができます. (多分)