なしゃ君の級数問題05の解法

さっき, なしゃ君が出した問題( https://mathlog.info/articles/530 ) を解こう思います. まず, これは交代多重ゼータ値になっています,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<a<b}\frac{(-1{)}^b}{a^{2}b}=\zeta (2,\bar{1})\end{array}$$
調和積により,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\bar{1})\zeta (2)& =& \zeta (\bar{1},2)+\zeta (2,\bar{1})+\zeta (\bar{3})\\ \zeta (\bar{1})\zeta (\bar{2})& =& \zeta (\bar{1},\bar{2})+\zeta (\bar{2},\bar{1})+\zeta (3)\end{array}$$シャッフル積により,
$$\begin{array}{r}\zeta (\bar{1})\zeta (2)=\zeta (\bar{1},\bar{2})+\zeta (\bar{2},\bar{1})+\zeta (\bar{1},2)\end{array}$$上の3つより,
$$\begin{array}{r}\zeta (2,\bar{1})=\zeta (\bar{1})\zeta (\bar{2})-\zeta (3)-\zeta (\bar{3})\end{array}$$ここで,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\bar{1})& =& -\ln 2\\ \zeta (\bar{2})& =& -\frac{{\pi }^2}{12}\\ \zeta (\bar{3})& =& -\frac{3}{4}\zeta (3)\end{array}$$をもちいて,
$$\begin{array}{r}\zeta (2,\bar{1})=\frac{{\pi }^2}{12}\ln 2-\frac{1}{4}\zeta (3)\end{array}$$となります. このように調和積とシャッフル積を両方つかうと, 大体の関係式は得ることができます. (多分)