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楕円曲線上の有限位数の有理点を求める

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J.H.Silverman and J.Tateの 楕円曲線論入門 の2章に以下のような定理がある.

Nagell-Lutzの定理

$$y^2 = f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c, (a,b,c \in \mathbb{Z})$$
を非特異3次曲線とし,判別式を
$$ D = -4a^3c +a^2 b^2 + 18 abc -4 b^3 -27 c^2$$
として,$P=(x,y)$を有限位数の有理点とする.
そのとき$x,y$は整数であり,さらに$y=0$($P$が位数2)かまたは,$y|D$ (より強くは$y^2|D$)である.

Mazurの定理

$C$を非特異な有理3次曲線とする.$C( \mathbb{Q})$が位数$m$の点を含むとき
$$ 1 \le m \le 10\ \ または\ \ m=12$$
である.さらに正確にいうと$C( \mathbb{Q})$の有限位数の点のなす部分群は次の2つのうちのどちらかの型をもつ.

  1. $ 1 \le m \le 10\ \ または\ \ m=12$を満たす位数$N$の巡回群.
  2. 位数$2$の巡回群と$ 1 \le m \le 4$なる位数$2N$の巡回群との直積.

問題2.12では,さまざまな3次曲線に対して,有限位数の有理点をすべて求め,それらの点で生成される群の構造を決定せよという問題がある.

一方で,有限位数の有理点であることを示すためには,原点(無限遠点)に到達するまで、3次曲線上の群演算を繰り返さなければならない.これは極めて膨大な計算が必要となる.

そこで,定理1を利用して,有限位数の有理点の候補(定理1は必要条件であるため)を抽出するために以下のようなPythonプログラムを作成した.

  1. $D$の因数分解を行う
  2. $P = (x,y)$を与えると$m=1 \sim 12$$mP$を求める.ただし,無限遠点に到達したら終了する.
      from fractions import Fraction
import collections

# 楕円曲線上の2点P,Qから、点(P+Q)を求める
def elliptic_group(a,b,c,x1,y1,x2,y2):
  if x1 == x2:
    if y1 == y2 and y1 != 0:
#      x3 = Fraction(pow(x1,4) - 2*b*pow(x1,2) - 8*c*x1 - 4*a*c + pow(b,2), pow(y1,2))
#      y3 = Fraction((3*pow(x1,2) + 2*a*x1 + b)*(x1 - x2) - 2*pow(y1,2), 2*y1)
      l = Fraction(3*pow(x1,2) + 2*a*x1 + b, 2*y1  )
    else:
      x3 = x1
      y3 = float('inf')
      return x3,y3
  else:
    l = Fraction(y2-y1,x2-x1)

  n = y1- l*x1
  x3 = l*l - a - x1 - x2
  y3 = - (l*x3 + n)
  return x3,y3

# 整数を因数分解する
def prime_factorize(n):
    a = []
    if n == 0:
      a.append(0)
    else:
      if n < 0:
        a.append(-1)
        n = -n
      while n % 2 == 0:
          a.append(2)
          n //= 2
      f = 3
      while f * f <= n:
          if n % f == 0:
              a.append(f)
              n //= f
          else:
              f += 2
      if n != 1:
          a.append(n)
    return a

# 三次関数の判別式Dを求める
def calc_D(a,b,c):
  D = -4*pow(a,3)*c + pow(a,2)*pow(b,2) + 18*a*b*c - 4*pow(b,3) - 27*pow(c,2)
  return D
    
      # y^2 = x^3 + a x^2 + b x + c の楕円曲線について
a,b,c = input("スペース込みでa,b,cを入力してください:").split(" ")
a = int(a)
b = int(b)
c = int(c)

D = calc_D(a,b,c)
print("D={}で因数分解は{}".format(D,collections.Counter(prime_factorize(D))))

bl = True
while(bl):
  x,y = input("点の整数点P =(x,y)をスペース区切りで入力:").split(" ")
  x = int(x)
  y = int(y)
  x2,y2=x,y
  i=1
  while(y2!=float('inf')):
    i+=1
    x2,y2=elliptic_group(a,b,c,x,y,x2,y2)
    print("{}P=({},{})".format(i,x2,y2))
    if(i>12):break
  bl = input("終わるならnを入力:")=="n"
  bl = not(bl)
    

このプログラムでは例えば、$y^2 = x^3 +4$$D$の値は以下のように$D = -432 = - 2^4 \times 3^3$と算出される

      スペース込みでa,b,cを入力してください:0 0 4
D=-432で因数分解はCounter({2: 4, 3: 3, -1: 1})
    

さらに,$y=0$では$x$は有理数解を持たないので,$y^2$の候補である$1,4,9,16,36,144$について$x$の有理数解を考えると,$P = (0,\pm 2)$が有限位数の有理点の候補となる.そこで,さらにこれら2点を入力すると,以下のように位数を求めることが出来た.

$y^2$の候補

有理数解とあるが,実際には定理1より整数解に限定されるので,$D$を割り切る平方数だけが$y^2$の候補となる.

      
点の整数点P =(x,y)をスペース区切りで入力:0 2
2P=(0,-2)
3P=(0,inf)
終わるならnを入力:0 -2
点の整数点P =(x,y)をスペース区切りで入力:0 -2
2P=(0,2)
3P=(0,inf)
    

この2点に原点(無限遠点)を加えた3点$\{O, (0,\pm 2)\}$は3次曲線上の群演算で位数3の巡回群となる.

投稿日:2020114

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onewan
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代数的整数論が好きです。趣味で数学のイベントに参加したり、開催したり、勉強したりしてます。普段はメーカーの知財部門で特許戦略とか数学とほぼ関係しない業務をやってます。趣味数学で癒されてます。

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