はじめに
こんにちはMakkyoExistsです。いやー今更ですけど数学って難しいですね。本当に何個も何十個も議論と知識を積んでいかないといけない気がします。終わりがありませんね。まぁそこが面白いんですけどね。
前置きはそれくらいにして、本日は有限群論では有名なFrattini論法について紹介したいと思います。名前に「論法」とついてはいますが普通に「定理」です。では見ていきましょう。主張は
Frattini論法
を群、をの有限位数の正規部分群とする。このときをのSylow -部分群とすると
が成り立つ。
という感じです。この定理は有限群論の議論をしていくうえででは「当たり前」として認識して話を進めることもあります。それくらいBasicな事実ということですね。あ、ちなみにという記号はよろしいでしょうか?
という定義で、これはの内の正規化群(normalizer of in )と呼ばれています。では見ていきましょう。
シローの定理(一部)
Frattini論法の証明にはシローの定理が一部必要になりますので、シロー部分群の定義とシローの定理を紹介したいと思います。
シロー部分群
を有限群とし、を素数とする。またの位数を
とする(はと互いに素な自然数)。このとき、位数がである部分群をのシロー-部分群(Sylow -subgroup of )といい、のSylow -部分群全体の集合をと表す。
つまりSylow -部分群とはの位数を因数分解したとき, の最高べきの部分群ということですね。Sylow群には大事な事実がたくさんあります。まず、任意の素数に対して有限群はSylow -部分群を必ず持つということです。これはSylow群の存在を保証するとても大切な事実です。
次にのSylow -部分群はすべて共役という事実です。共役というのは大丈夫ですか? 2つの部分群, に対し、となるような元がとれるときとは共役(conjugate)と言います。つまりとがのSylow -部分群ならとなるがいつでもとれるということですね。この2つの事実と、Sylow群の個数に付いての主張をまとめてシローの定理と呼ばれています。証明などもまた機会があれば書きたいと思います。
Frattini論法の証明
では、冒頭の定理
Frattini論法
を群、をの有限位数の正規部分群とする。このときをのSylow -部分群とすると
が成り立つ。
を証明してみましょう。をのSylow -部分群としているのでであることに注意してください。またの部分群, の任意の元に対して以下より
と書きます。はの「乗」ではないことにも注意してくださいね。(まぁそもそも「乗」なんて定義されてないわけですが一応念のため…笑)
任意にをとる。がの正規部分群であることとであることから
がわかる。よってはの部分群であり、なのでものSylow -部分群であることがわかる。またSylowの定理よりとはで共役になる。したがって
となるようながとれる(Sylowの定理をに適用していることに注意)。つまりなのでである。よって
となり、の任意の元がに属することがわかった。つまりが成り立つ。
さいごに
どうでしたか? 使っている定義が少ないせいか今回はすぐに終わりましたね。これは僕も学部生の頃最初の最初のゼミでやりました。懐かしいですね。群論の授業の演習問題としても出てきそうです。
はい、今回も最後まで読んで頂きありがとうございました。いつもの通り誤植を見つけた方はコメントで教えて頂けると助かります。感想コメントもお待ちしております(反応してくれるというのは本当に嬉しいです!笑)
では、また!('-'*)