大学数学基礎解説

フラティニ論法（Frattini Argument）

有限群論,群論,シローの定理

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はじめに

こんにちはMakkyoExistsです。いやー今更ですけど数学って難しいですね。本当に何個も何十個も議論と知識を積んでいかないといけない気がします。終わりがありませんね。まぁそこが面白いんですけどね。

前置きはそれくらいにして、本日は有限群論では有名なFrattini論法について紹介したいと思います。名前に「論法」とついてはいますが普通に「定理」です。では見ていきましょう。主張は

Frattini論法

$G$を群、$N$を$G$の有限位数の正規部分群とする。このとき$P$を$N$のSylow $p$-部分群とすると
$$ G = N_G(P)N $$
が成り立つ。

という感じです。この定理は有限群論の議論をしていくうえででは「当たり前」として認識して話を進めることもあります。それくらいBasicな事実ということですね。あ、ちなみに$N_G(P)$という記号はよろしいでしょうか？
$$ N_G(P):=\{g \in G \,\,|\,\,g^{-1}Pg = P \} $$
という定義で、これは$P$の$G$内の正規化群(normalizer of $P$ in $G$)と呼ばれています。では見ていきましょう。

シローの定理（一部）

Frattini論法の証明にはシローの定理が一部必要になりますので、シロー部分群の定義とシローの定理を紹介したいと思います。

シロー部分群

$G$を有限群とし、$p$を素数とする。また$G$の位数を
$$ |G|=p^nm $$
とする($m$は$p$と互いに素な自然数)。このとき、位数が$p^n$である部分群を$G$のシロー$p$-部分群(Sylow $p$-subgroup of $G$)といい、$G$のSylow $p$-部分群全体の集合を$Syl_{p}(G)$と表す。

つまりSylow $p$-部分群とは$G$の位数を因数分解したとき, $p$の最高べきの部分群ということですね。Sylow群には大事な事実がたくさんあります。まず、任意の素数$p$に対して有限群$G$はSylow $p$-部分群を必ず持つということです。これはSylow群の存在を保証するとても大切な事実です。

次に$G$のSylow $p$-部分群はすべて共役という事実です。共役というのは大丈夫ですか？２つの部分群$H$, $K$に対し、$g^{-1}Kg = H$となるような元$g \in G$がとれるとき$H$と$K$は共役(conjugate)と言います。つまり$H$と$K$が$G$のSylow $p$-部分群なら$g^{-1}Kg = H$となる$g \in G$がいつでもとれるということですね。この２つの事実と、Sylow群の個数に付いての主張をまとめてシローの定理と呼ばれています。証明などもまた機会があれば書きたいと思います。

Frattini論法の証明

では、冒頭の定理

Frattini論法

$G$を群、$N$を$G$の有限位数の正規部分群とする。このとき$P$を$N$のSylow $p$-部分群とすると
$$ G = N_G(P)N $$
が成り立つ。

を証明してみましょう。$P$を$N$のSylow $p$-部分群としているので$P \subseteq N$であることに注意してください。また$G$の部分群$X$, $G$の任意の元$g$に対して以下より
$$ X^g = g^{-1}Xg $$
と書きます。$X^g$は$X$の「$g$乗」ではないことにも注意してくださいね。(まぁそもそも「$g$乗」なんて定義されてないわけですが一応念のため…笑)

任意に$g \in G$をとる。$N$が$G$の正規部分群であることと$P \subseteq N$であることから
$$ P^g \subseteq N^g = N $$
がわかる。よって$P^g$は$N$の部分群であり、$|P^g| = |P|$なので$P^g$も$N$のSylow $p$-部分群であることがわかる。またSylowの定理より$P$と$P^g$は$N$で共役になる。したがって
$$ (P^g)^n = P $$
となるような$n \in N$がとれる(Sylowの定理を$N$に適用していることに注意)。つまり$P^{gn} = P$なので$gn \in N_G(P)$である。よって
$$ g \in N_G(P)n^{-1} \subseteq N_G(P)N $$
となり、$G$の任意の元$g$が$N_G(P)N$に属することがわかった。つまり$G = N_G(P)N$が成り立つ。