有限生成加群の部分加群は有限生成か？

以下の問題を考えてみる。

解答)いいえ。

例を挙げてみる。$R$を可換環、$A=R[x_1,\dots ,x_n,\dots ]$を無限変数の多項式環とする。
$A$は$A$加群として有限生成である。$\{1\}$が生成系になるからである。
$A\setminus R$は$A$加群になるが有限生成にはならない。もし有限生成だとするとそれを$\{f_1,\dots f_N\}$を生成系とする。$x_j$が$f_i$に含まれる$j$のうち最大のものを$a_i$とする。(例えば$f_1=x_6^3{x}_{532}^2+x_{1111}$ならば$a_1=1111$である。)
$M=max\{a_1,\dots ,a_N\}$とすれば$x_{M+1}$は$\{f_1,\dots ,f_N\}$で生成されないことがわかる。
よって矛盾。