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有限生成加群の部分加群は有限生成か?

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以下の問題を考えてみる。

問.有限生成加群の部分加群は有限生成か?

解答)いいえ。

例を挙げてみる。$R$を可換環、$A=R[x_1,\dots ,x_n,\dots ]$を無限変数の多項式環とする。
$A$$A$加群として有限生成である。$\{1 \}$が生成系になるからである。
$A\setminus R$$A$加群になるが有限生成にはならない。もし有限生成だとするとそれを$\{ f_1,\dots f_N\}$を生成系とする。$x_j$$f_i$に含まれる$j$のうち最大のものを$a_i$とする。(例えば$f_1=x_6^3x_{532}^2+x_{1111}$ならば$a_1=1111$である。)
$M=\max \{ a_1,\dots , a_N\}$とすれば$x_{M+1}$$\{f_1,\dots ,f_N\}$で生成されないことがわかる。
よって矛盾。

投稿日:20201113

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投稿者

B2 現在代数学(特に環論)を勉強中。 将来は群論やりたいとか思ってます。 気が向いた時に更新していく感じでいきます。

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