微分加群

$\Omega_{A/k}\otimes_k k'=\Omega_{A/k}\otimes_A (A\otimes_k k')$に注意する.

$A=k[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots, f_m)$のときに示そう.
このとき, $A\otimes_k k' = k'[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots, f_m)$であるから, $\Omega_{A\otimes_k k' / k'}$は$dX_i$を基底とする自由$A\otimes_k k'$加群を関係式$\sum_j (\partial f_i/\partial X_j)dX_j=0$で割ったものである.
これは$\Omega_{A/k}\otimes_A (A\otimes_k k')$に他ならない.

上で注意したように任意の$A\times B$加群$L$は$A$加群$M$と$B$加群$N$によって$L=M\times N$と表せる. このとき, $\operatorname{Der}_k(A\times B, M\times N)=\operatorname{Der}_k(A, M)\times \operatorname{Der}_k(B, N)$が成り立つ.
実際, $d_1 \in \operatorname{Der}_k(A, M)$, $d_2 \in \operatorname{Der}_k(B, N)$に対し, $d_1\times d_2 : A\times B \to M\times N$は$k$導分である.
逆に$k$導分$d \in \operatorname{Der}_k(A\times B, M\times N)$に対し, 射影$\pi_M:M\times N\to M$との合成を$d'_1:A\times B \to M\times N \to M$とおく. $d(0,b)=d((0,1)(0,b))=(0,1)d(0,b)+(0,b)d(0,1)\in \{0 \}\times N$より, $d_1'$は$k$導分$d_1:A\to M$を誘導し, $\pi_M d(a,b)=d_1(a)$が成り立つ.
同様に$k$導分$d_2:B \to N$が存在し, $\pi_N d(a,b)=d_2(b)$が成り立つ. したがって, $d=d_1\times d_2$を得る.
$$ \operatorname{Der}_k(A, M)\times \operatorname{Der}_k(B, N)=\operatorname{Hom}_A(\Omega_{A/k}, M)\times \operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/k}, N)= \operatorname{Hom}_{A\times B}(\Omega_{A/k}\times \Omega_{B/k}, M\times N) $$
であるから, 自然な同型
$$ \operatorname{Der}_k(A\times B, M\times N)=\operatorname{Hom}_{A\times B}(\Omega_{A/k}\times \Omega_{B/k}, M\times N) $$を得る. 微分加群の一意性から結論を得る.

任意の$S^{-1}A$加群$M$に対し, thから自然な同型$\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(\Omega_{A/k}\otimes_A S^{-1}A, M)=\operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/k}, M)=\operatorname{Der}_k(A,M)$ がある.
任意の$k$導分$D:A\to M$に対し, $a/s\in S^{-1}A$に対して$D'(a/s)=(sD(a)-aD(s))/s^2 \in M$と定めるのはwell-definedである. 実際, $a/s=a'/s'$とすると, $t(s'a-sa')=0$が成り立つ. ライプニッツルールから$(s'a-sa')D(t)+t(aD(s')+s'D(a)-a'D(s)-sD(a'))=0$が成り立つので,
\begin{align*} t^2s'^2(sD(a)-aD(s))&=t^2ss'^2D(a)-t^2ss'a'D(s)\\ &=ss'(-t^2aD(s')+t^2sD(a')+t(s'a-sa')D(t)) \\ &=t^2s^2(s'D(a')-a'D(s'))+ss't(s'a-sa')D(t) \\ &=t^2s^2(s'D(a')-a'D(s')). \end{align*}
さらに, $D':S^{-1}A \to M$は$k$導分であり, $D$の拡張になっている (ルーティンチェック).
逆に任意の$k$導分$D':S^{-1}A \to M$に対し, $0=D'(1)=D'(ss^{-1})=sD'(s^{-1})+s^{-1}D'(s)$であるから, $D'(s^{-1})=-D'(s)/s^2$. よって, $D'$は$A$上の値により一意的に定まる.
したがって自然な同型$\operatorname{Der}_k(A,M)=\operatorname{Der}_k(S^{-1}A,M)$を得るから, 上で注意したことより同型$\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(\Omega_{A/k}\otimes_A S^{-1}A, M)=\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(\Omega_{S^{-1}A/k}, M)$を得る. よって示された.

任意の$k$加群$N$に対し, $\beta:A\to k$により$N$を$A$加群とみなす. このとき, thより
$\operatorname{Der}_k(A,N)=\operatorname{Hom}_A(\Omega_{A/k},N)=\operatorname{Hom}_k(\Omega_{A/k}\otimes_\beta k,N)$ が成り立つ.
任意の$k$導分$D:A \to N$と$a,b\in A$に対し$D(ab)=aD(b)+bD(a)$が成り立つが, $N$の$A$加群構造の定義から$D(ab)=\beta(a)D(b)+\beta(b)D(a)$である. よって$D(I^2)=0$が分かる. したがって, $k$線形写像$I/I^2\to N$が導かれる.
逆に任意の$k$線形写像$f:I/I^2\to N$に対し, $\pi:A \to I$との合成$D:A \to I \to I/I^2 \to N$は$k$線形である. 任意の$a \in A$は$a=x+\alpha\cdot 1$, $x \in I, \alpha \in k$と表せる. $b\in A$も同様に$b=y+\alpha' \cdot 1$と表すと, $ab=xy+\alpha y + \alpha' x+\alpha \alpha'$であり, $xy+\alpha y+\alpha' x \in I, \alpha \alpha'\in k$である. ゆえに$\pi(ab)=xy+\alpha y + \alpha' x$. したがって, $\pi(ab)= \alpha y + \alpha ' x \mod I^2$である. ゆえに, $D(ab)=\alpha f(y)+\alpha' f(x)$. 一方, $D(a)=f(x), D(b)=f(y), \beta(a)=\alpha, \beta(b)=\alpha'$なので, $D(ab)=\beta(a)D(b)+\beta(b)D(a)=aD(b)+bD(a)$, すなわち, $D$は$k$導分である.
この対応は互いに逆であるから, 自然な同型$\operatorname{Der}_k(A,N)=\operatorname{Hom}_k(I/I^2,N) $を得る.
以上から自然な同型$\operatorname{Hom}_k(\Omega_{A/k}\otimes_\beta k,N)= \operatorname{Hom}_k(I/I^2,N)$が存在するので, 示された.

2より$k=\bar{k}$としてよい.
3より$\Omega_{k\times \cdots \times k/k}=\Omega_{k/k}\times \cdots \times \Omega_{k/k}=0.$
よって$A$が分離的なら$\Omega_{A/k}=0$である.
逆を示す. $A=\prod A_i$と表す. ここで$A_i$は局所Artin$k$代数である. 3より, $\Omega_{A/k}=0$ならばすべての$i$に対して$\Omega_{A_i/k}=0$である. さて, $\mathfrak{m}_i$を$A_i$の極大イデアルとすると, $k$が代数閉体なので剰余体$A/\mathfrak{m}_i$は$k$である. 6より, $0=\Omega_{A_i/k}\otimes_{A_i}(A_i /\mathfrak{m}_i)=\mathfrak{m}_i/\mathfrak{m}_i^2$であるから, $\mathfrak{m}_i=\mathfrak{m}_i^2$. よって十分大きい$N$に対し$\mathfrak{m}_i=\mathfrak{m}_i^N$が成り立つが, $\mathfrak{m}_i$はべき零なので, $\mathfrak{m}_i=0$を得る. よって$A_i=k$であり, $A$は分離的である.