総和の計算

総和公式

$k=1$から$n$までの和は，総和記号$\Sigma$（シグマ）を用いて，以下の様に表される。

$$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots =\frac{1}{2}n(n+1)$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots =\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^3=1^3+2^3+3^3+\cdots =\{\frac{1}{2}n(n+1){\}}^2=(\sum _{k=1}^{n}k{)}^2$$

以下に式変形を示す。
まず，$(k+1{)}^2-k^2$の$k=1$から$k=n$までの和を考えてみる。
$$\sum _{k=1}^n\{(k+1{)}^2-k^2\}$$

$$=\{(1+1{)}^2-1^2\}+\{(2+1{)}^2-2^2\}+\cdots +\{(n+1{)}^2-n^2\}$$

$$=(n+1{)}^2-1^2=n^2+2n$$

一方，$(k+1{)}^2-k^2$を展開し，整理すると
$$\sum _{k=1}^n\{(k+1{)}^2-k^2\}=\sum _{k=1}^n(k^2+2k+1-k^2)$$

$$=\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$$

上の2つの式は等しいので，
$$2\sum _{k=1}^{n}k+n=n^2+2n$$

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n^2+2n-n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$$

他の2つも同様に式変形を行うことで得られる。