総和の計算

総和公式

$k=1$から$n$までの和は，総和記号$Σ$（シグマ）を用いて，以下の様に表される。

$$ \sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+ \cdots= \frac{1}{2}n(n+1) $$

$$ \sum_{k=1}^{n} k^2=1^2+2^2+3^2+ \cdots= \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) $$

$$ \sum_{k=1}^{n} k^3=1^3+2^3+3^3+ \cdots= \lbrace \frac{1}{2}n(n+1) \rbrace^2=(\sum_{k=1}^{n} k )^2 $$

以下に式変形を示す。
まず，$(k+1)^2-k^2$の$k=1$から$k=n$までの和を考えてみる。
$$ \sum_{k=1}^{n} \lbrace (k+1)^2-k^2 \rbrace $$

$$ =\lbrace (1+1)^2-1^2 \rbrace+\lbrace (2+1)^2-2^2 \rbrace+ \cdots+\lbrace (n+1)^2-n^2 \rbrace\\ $$

$$ =(n+1)^2-1^2=n^2+2n $$

一方，$(k+1)^2-k^2$を展開し，整理すると
$$ \sum_{k=1}^{n} \lbrace (k+1)^2-k^2 \rbrace=\sum_{k=1}^{n} (k^2+2k+1-k^2) $$

$$ =\sum_{k=1}^{n} (2k+1)=2\sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1 $$

上の2つの式は等しいので，
$$ 2\sum_{k=1}^{n}k+n=n^2+2n $$

$$ \sum_{k=1}^{n}k= \frac{n^2+2n-n}{2}= \frac{n(n+1)}{2} $$

他の2つも同様に式変形を行うことで得られる。