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cos n°は有理数か?

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はじめに

突然ですが、皆さんこの問題を知っていますか?

tan1は有理数か。

2006年京大理系で出された問題で、簡潔な問題文であるにもかかわらず、受験生のほとんどが解けなかったといわれている難問として有名です。実際にこの問題を解いてみましょう。

(証明)
tan1が有理数であると仮定する。このとき、tan2倍角の公式よりtan2=2tan11(tan1)2。よってtan2は有理数である。同様に2倍角の公式を用いれば、tan4,tan8,tan16,tan32も有理数である。また、tanの加法定理より、
tan30=tan(322)=tan32tan21tan32tan2。よってtan30は有理数である。しかし、tan30=33であるから矛盾。よって背理法よりtan1は無理数である。

 では、次の問題はどうでしょう。

cos1は有理数か。

この問題も一見先ほどと同じやり方で解けそうな気がします。しかし、おそらく途中でつまづくはずです。

(途中でつまづく解き方)
cos1を有理数と仮定する。cos2倍角の公式を繰り返し用いると、cos2,cos4,cos8,cos16,cos32は有理数である。ここでcosの加法定理より、
cos30=cos(322)=cos32cos2sin32sin2

うまくいかない原因は、cosの加法定理にsinが含まれているからです。tanの場合は、加法定理がtanのみで表されたため、うまくできました。(後で述べますが、この問題はチェビシェフ多項式というものを用いて証明することができます。)

 

さらに、一般化させましょう。

nを整数とするときcosnは有理数か。

前置きが長くなりましたが、今回はこれを解いていきます。

cosnは無理数か

これを考えていくわけですが、先に結論を言ってしまいます。というのも、結論を先に言っておかないと、どんな議論をしているかわかりづらくなるからです。

cosnが有理数 n60の倍数または90の倍数

もっと考えやすくするために、さらにこれを言い換えます。

0<n<90のとき cosnが有理数 n=60

n90の倍数であるとき、cosnが有理数になることは明らかです。また、cos(n+360)=cosn,cos(n+180)=cosn,cos(180n)=cosnが成り立つことから、0<n<90のときのみを考えれば十分と分かります。

チェビシェフ多項式

cosnが有理数かどうかを考えていく下準備として、チェビシェフ多項式というものを考えていきます。チェビシェフ多項式Tn(x)とは次のようなものです。


Tn(x)cosnθ=Tn(cosθ)を満たす有理数係数n次多項式である。

いきなり言われても分かりにくいかもしれないので、具体例を考えます。
n=1のときは、明らかにT1(x)=xです。
n=2のときは、2倍角の公式cos2θ=2cos2θ1よりT2(x)=2x21です。
n=3のときは、3倍角の公式cos3θ=4cos3θ3cosθよりT2(x)=4x33xです。
このようにして、すべてのnに対して、cosnθcosθの有理数係数n次多項式で表すことができます。このことは数学的帰納法を使って示すことができます。

Tn(x)が存在することの証明)
まずn=1,2のときは上でみたようにT1(x)=x,T2(x)=2x21
次にTk2(x),Tk1(x)が存在すると仮定する(k3)。cosの加法定理cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβにおいて、α=(k1)θ,β=θとすると、
cos(kθ)=cos{(k1)θ}cosθsin{(k1)θ}sinθ
cos{(k2)θ}=cos{(k1)θ}cosθ+sin{(k1)θ}sinθ
2式の辺々を加えると
cos(kθ)+cos{(k2)θ}=2cos{(k1)θ}cosθ
cos{(k2)θ}を移項して
cos(kθ)=2cos{(k1)θ}cosθcos{(k2)θ}
したがってTk(x)=2xTk1(x)Tk2(x)が存在する。

これを使うと次のことを示すことができます。


mnの約数であるとき cosnが無理数cosmも無理数

(証明)
対偶「cosmが有理数cosnも有理数」を示す。nmの約数であるからn=km(kN)と表わせる。このとき、cosn=Tk(cosm)であるから、cosmが有理数ならばcosnも有理数である。

今示した定理が、このあと強力に働きます。何回も出てくるので、この定理を「無理数判定法」と名付けることにします。

証明の方針

この記事の冒頭で扱った、「cos1は有理数か。」を再び考えてみます。無理数判定法を使ってみます。

cos1が無理数であることの証明)
cos45=22だからcos45は無理数。145の約数だから、無理数判定法よりcos1は無理数である。

無理数判定法を使うと一発で示せてします!!このように、cosnが無理数かどうかを調べるためには、nの倍数であって、cosmが無理数となるような自然数mをうまく持ってくればよいのです。

さあ、いよいよここから証明していきます。一つずつしらみつぶしに調べていきます。

証明

もう一度、示すべきことを書きます。

0<n<90のとき cosnが有理数 n=60

では証明していきます。


n=2k1と表わされるとき、cosnは無理数である。
(証明)
cos{45(2k1)}=±22だからcos{45(2k1)}は無理数。2k145(2k1)の約数だから、無理数判定法よりcos(2k1)は無理数である。

したがって、cosnが有理数となるnは偶数であることがわかります。

どんどんいきます。


n=5k±1,10k±2,20k±4,30k±6と表わされるとき、cosnは無理数である。

(証明)
cos72=514である。360=5×72であるから、cos{72(5k±1)}=±514は無理数。5k±1,10k±2,20k±4,30k±672(5k±1)の約数だから、無理数判定法よりcos(5k±1),cos(10k±2),cos(20k±4),cos(30k±6)は無理数である。

したがって、cosnが有理数となるnの候補は、10,14,20,26,30,34,40,46,50,60,70,74,80,86に絞られます。


n=12k±2と表わされるとき、cosnは無理数である。
(証明)
cos30=32である。180=6×30であるから、cos{30(6k±1)}=±32は無理数。12k±230(6k±1)の約数だから、無理数判定法よりcos(12k±2)は無理数である。

したがって、cosnが有理数となるnの候補は、20,40,60,80に限られます。候補が4つまで絞られました!!


n=20,40,80のとき、cosnは無理数である。
(証明)
cos80が無理数であることを示す。cos80=xとおくと、3倍角の公式より、cos240=4x33x=12。したがって、cos808x36x+1=0の解である。もしこの方程式が有理数解を持つならば、有理根定理より、その有理数解の候補はx=±1,±12,±14,±18が考えられるがいずれも解でない。したがって方程式8x36x+1=0は有理数解をもたないから、cos80は無理数である。さらに204080の約数だから、無理数判定法よりcos20,cos40も無理数である。

したがって、cosnが有理数となるnの候補は60のみです!!あとは、cos60が有理数であることをちゃんと確かめましょう。


cos60は有理数である。
(証明)
cos60=12だからcos60は有理数である。

以上で証明はおしまいです。お疲れさまでした!!

sinnは有理数か

せっかくなので、sinの場合も考えてみましょう。

0<n<90のとき sinnが有理数 n=30

(証明)
sinn=cos(90n)だから、sinnが有理数となるのは、90n=60よりn=30

最後にちょっと補足します。なぜ先にcosを考えたか分かりますか?答えはsinの場合には、チェビシェフ多項式みたいなものが常には存在しないからです。すなわち、sinnθ=Sn(sinθ)を満たす多項式Sn(x)は、常には存在しません(例えばn=2)。だから、先にcosを考えたのでした。

以上で今回の記事はおしまいです。結構ボリューミーでしたがいかがでしたでしょうか。最後まで読んでいただきありがとうございました。

投稿日:20201113
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とりゐ
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