はじめに
突然ですが、皆さんこの問題を知っていますか?
は有理数か。
2006年京大理系で出された問題で、簡潔な問題文であるにもかかわらず、受験生のほとんどが解けなかったといわれている難問として有名です。実際にこの問題を解いてみましょう。
(証明)
が有理数であると仮定する。このとき、の倍角の公式より。よっては有理数である。同様に倍角の公式を用いれば、,,,も有理数である。また、の加法定理より、
。よっては有理数である。しかし、であるから矛盾。よって背理法よりは無理数である。
では、次の問題はどうでしょう。
は有理数か。
この問題も一見先ほどと同じやり方で解けそうな気がします。しかし、おそらく途中でつまづくはずです。
(途中でつまづく解き方)
を有理数と仮定する。の倍角の公式を繰り返し用いると、,,,,は有理数である。ここでの加法定理より、
。
うまくいかない原因は、の加法定理にが含まれているからです。の場合は、加法定理がのみで表されたため、うまくできました。(後で述べますが、この問題はチェビシェフ多項式というものを用いて証明することができます。)
さらに、一般化させましょう。
を整数とするときは有理数か。
前置きが長くなりましたが、今回はこれを解いていきます。
は無理数か
これを考えていくわけですが、先に結論を言ってしまいます。というのも、結論を先に言っておかないと、どんな議論をしているかわかりづらくなるからです。
が有理数 はの倍数またはの倍数
もっと考えやすくするために、さらにこれを言い換えます。
のとき が有理数
がの倍数であるとき、が有理数になることは明らかです。また、,,が成り立つことから、のときのみを考えれば十分と分かります。
チェビシェフ多項式
が有理数かどうかを考えていく下準備として、チェビシェフ多項式というものを考えていきます。チェビシェフ多項式とは次のようなものです。
はを満たす有理数係数次多項式である。
いきなり言われても分かりにくいかもしれないので、具体例を考えます。
のときは、明らかにです。
のときは、倍角の公式よりです。
のときは、倍角の公式よりです。
このようにして、すべてのに対して、をの有理数係数次多項式で表すことができます。このことは数学的帰納法を使って示すことができます。
(が存在することの証明)
まずのときは上でみたように。
次にが存在すると仮定する()。の加法定理において、とすると、
式の辺々を加えると
を移項して
したがってが存在する。
これを使うと次のことを示すことができます。
がの約数であるとき が無理数も無理数
(証明)
対偶「が有理数も有理数」を示す。はの約数であるからと表わせる。このとき、であるから、が有理数ならばも有理数である。
今示した定理が、このあと強力に働きます。何回も出てくるので、この定理を「無理数判定法」と名付けることにします。
証明の方針
この記事の冒頭で扱った、「は有理数か。」を再び考えてみます。無理数判定法を使ってみます。
(が無理数であることの証明)
だからは無理数。はの約数だから、無理数判定法よりは無理数である。
無理数判定法を使うと一発で示せてします!!このように、が無理数かどうかを調べるためには、の倍数であって、が無理数となるような自然数をうまく持ってくればよいのです。
さあ、いよいよここから証明していきます。一つずつしらみつぶしに調べていきます。
証明
もう一度、示すべきことを書きます。
のとき が有理数
では証明していきます。
と表わされるとき、は無理数である。
(証明)
だからは無理数。はの約数だから、無理数判定法よりは無理数である。
したがって、が有理数となるは偶数であることがわかります。
どんどんいきます。
と表わされるとき、は無理数である。
(証明)
である。であるから、は無理数。はの約数だから、無理数判定法よりは無理数である。
したがって、が有理数となるの候補は、に絞られます。
と表わされるとき、は無理数である。
(証明)
である。であるから、は無理数。はの約数だから、無理数判定法よりは無理数である。
したがって、が有理数となるの候補は、に限られます。候補がつまで絞られました!!
のとき、は無理数である。
(証明)
が無理数であることを示す。とおくと、倍角の公式より、。したがって、はの解である。もしこの方程式が有理数解を持つならば、有理根定理より、その有理数解の候補はが考えられるがいずれも解でない。したがって方程式は有理数解をもたないから、は無理数である。さらにとはの約数だから、無理数判定法よりも無理数である。
したがって、が有理数となるの候補はのみです!!あとは、が有理数であることをちゃんと確かめましょう。
は有理数である。
(証明)
だからは有理数である。
以上で証明はおしまいです。お疲れさまでした!!
は有理数か
せっかくなので、の場合も考えてみましょう。
のとき が有理数
(証明)
だから、が有理数となるのは、より
最後にちょっと補足します。なぜ先にを考えたか分かりますか?答えはの場合には、チェビシェフ多項式みたいなものが常には存在しないからです。すなわち、を満たす多項式は、常には存在しません(例えば)。だから、先にを考えたのでした。
以上で今回の記事はおしまいです。結構ボリューミーでしたがいかがでしたでしょうか。最後まで読んでいただきありがとうございました。