sinの無限乗積展開の初等的証明

ここでは, $\sin$の無限乗積展開
$$\begin{array}{r}\sin \pi x=\pi x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})\end{array}$$を初等的に証明していきたいと思います. まず, $\cos$の$n$倍角は$\cos$の多項式でかけることを示します. 自然数$n$に対して,
$$\begin{array}{r}\frac{\sin nx}{n\sin x}=f_{n-1}(\cos x)\end{array}$$とします. $f_0(x)=1$であることと,
$$\begin{array}{rcl}{f}_n(\cos x)& =& \frac{\sin (n+1)x}{(n+1)\sin x}\\ & =& \frac{n}{n+1}\frac{\sin nx\cos x+\sin x\cos nx}{n\sin x}\\ & =& \frac{n}{n+1}{f}_{n-1}(\cos x)\cos x+\frac{1}{n+1}\cos nx\end{array}$$より, $f_n(x)$は$n$次の多項式であることがわかります.
$$\begin{array}{r}{f}_{2n}(\cos x)=\frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)\sin x}\end{array}$$において, $x\to \pi -x$とすると,
$$\begin{array}{r}{f}_{2n}(-\cos x)=\frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)\sin x}=f_{2n}(\cos x)\end{array}$$よって, これは偶関数だから, $f_{2n}(\cos x)$は${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$の多項式となり, $f_{2n}(\cos x)$は${\sin }^{2}x$の多項式でかけることがわかります. それを$\sin x$の多項式として考えたものを$g_{2n}(x)$として, 零点を考えると, $C_{2n}$を$n$に依存する定数として,
$$\begin{array}{r}{g}_{2n}(x)=C_{2n}\prod _{k=1}^n(x-\sin \frac{\pi k}{2n+1})(x+\sin \frac{\pi k}{2n+1})=C_{2n}\prod _{k=1}^n(x^2-{\sin }^2\frac{\pi k}{2n+1})\end{array}$$と因数分解することができます. よって, $x\to \sin x$として,
$$\begin{array}{r}\frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)\sin x}=C_{2n}\prod _{k=1}^n({\sin }^{2}x-{\sin }^2\frac{\pi k}{2n+1})\end{array}$$となります. ここで, $x\to 0$とすることによって, $C_{2n}$が以下のように求まります.
$$\begin{array}{r}{C}_{2n}=(-1{)}^n\prod _{k=1}^n\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi k}{2n+1}}\end{array}$$これを代入して,
$$\begin{array}{rcl}\frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)\sin x}& =& \prod _{k=1}^n(1-\frac{{\sin }^{2}x}{{\sin }^2\frac{\pi k}{2n+1}})\end{array}$$となることが分かります. ここで, $x\to \frac{x}{2n+1}$とすると,
$$\begin{array}{r}\frac{\sin x}{(2n+1)\sin \frac{x}{2n+1}}=\prod _{k=1}^n(1-\frac{{\sin }^2\frac{x}{2n+1}}{{\sin }^2\frac{\pi k}{2n+1}})\end{array}$$となって, $n\to \mathrm{\infty }$とすることによって,
$$\begin{array}{r}\frac{\sin x}{x}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{k}^2})\end{array}$$つまり,
$$\begin{array}{r}\sin \pi x=\pi x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})\end{array}$$となり証明が完了しました.