ゼータ関数の定義と積分表示

によって, 定義します. ここで,
$$\begin{array}{r}\zeta (1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\end{array}$$は調和級数と呼ばれていて, 発散することが知られています. 第$2^k+1$項から、第$2^{k+1}$項までを$\frac{1}{2^{k+1}}$に置き換えると,
$$\begin{array}{rcl}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots & >& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \\ & =& 1+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+8\cdot \frac{1}{16}+\cdots \\ & =& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \end{array}$$となって最後の級数が発散していることから従います. さて, 積分表示を考えてみます.

ガンマ関数から得られる等式,
$$\begin{array}{r}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-nx}dx=\frac{1}{n^s}\end{array}$$をもちいて,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (s)& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-nx}dx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nx}dx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\end{array}$$
これがゼータ関数の積分表示になっています. ここで, 変数変換をしてみます.
$$\begin{array}{rcl}\zeta (s)& =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^1\frac{(-\ln x{)}^{s-1}}{1-x}dx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^1\frac{(-\ln (1-x){)}^{s-1}}{x}dx\end{array}$$と対数関数をもちいた積分表示もできます. さて, ここでゼータ関数を交代和にした,
$$\begin{array}{r}\eta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}\end{array}$$を考えてみます. これはDirichletイータ関数と呼ばれています.
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^s}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^s}\\ & =& \zeta (s)-2^{1-s}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\\ & =& (1-2^{1-s})\zeta (s)\end{array}$$ というふうにゼータ関数で表すことができます. さて, これをもちいて, 対数関数のTaylor展開より, $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2\end{array}$$がわかるので,
$$\begin{array}{rcl}\underset{s\to 0}{lim}s\zeta (1+s)& =& \underset{s\to 0}{lim}\frac{s}{1-2^{-s}}\eta (1+s)\\ & =& \frac{1}{\ln 2}\cdot \ln 2\\ & =& 1\end{array}$$ よって, $$\underset{s\to 0}{lim}s\zeta (1+s)=1$$ となります.