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級数の問題解説03+α

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dtさん(Twitter:@dt_want_to_dt)が2020/11/3に公開した級数の問題です.

n=0(1)n(n+2)(n+3)ζ(n+4)2n

[解説]
 脳死でζ関数を積分表示に直しましょう.
n=0(1)n(n+2)(n+3)ζ(n+4)2n=n=0(1)n(n+2)(n+3)2n1Γ(n+4)0tn+3et1dt=0t2et1n=0(1)ntn+12n(n+1)!dt=0t2et1(2)n=0(t2)n+11(n+1)!dt=20t2et1(et21)dt=2(0t2et2et1dtΓ(3)ζ(3))
ここで,
0t2e12tet1dt=0t2n=0e(n+32)tdt=n=00t2e(n+32)tdt=n=02(n+32)3=16(133+153+173+)=16(n=11n318n=11n31)=14ζ(3)16
を元の式に代入することで,
n=0(1)n(n+2)(n+3)ζ(n+4)2n=2(0t2et2et1dtΓ(3)ζ(3))=2(14ζ(3)162ζ(3))=3224ζ(3)
と答えが得られます.
 少し補足なのですが,計算過程で出てきた0t2e12tet1dtという積分は,以下で定義されるフルヴィッツζ関数(Hurwitz zeta function)の積分表示の一部になっているようです.(この問題を解いていて初めて知りました)

・フルヴゥィツζ関数の定義
Re(s)>1,Re(a)>0なる複素数s,aに対し,
ζ(s,a)=n=01(a+n)s

この関数の積分表示は以下のようになります.

ζ(s,a)=1Γ(s)0ts1eat1etdt

導出は問題の解説の中で示した特殊な場合と同様にできます.
 最近,ζ関数を見ると反射的に積分表示に直してしまう癖が付いてきているの良くないです.ζのまま処理する方法とかあったりするんでしょうか...

投稿日:20201113
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投稿者

物理学と数学を嗜んでいる高2です 食わず嫌いせずにいろんな分野に触れたいと思ってます

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