級数の問題解説03+α
dtさん（Twitter：@dt_want_to_dt）が2020/11/3に公開した級数の問題です．
［解説］
脳死で$ζ$関数を積分表示に直しましょう．
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+2)(n+3)\zeta(n+4)}{2^n}&=&\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+2)(n+3)}{2^n}\frac{1}{\Gamma(n+4)}\int_0^\infty \frac{t^{n+3}}{e^t-1}dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{t^2}{e^t-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{2^n(n+1)!}dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{t^2}{e^t-1}(-2)\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{t}{2}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)!}dt \\
&=&-2\int_0^\infty \frac{t^2}{e^t-1}(e^{-\frac{t}{2}}-1)dt \\
&=&-2\left(\int_0^\infty \frac{t^2e^{-\frac{t}{2}}}{e^t-1}dt-\Gamma(3) \zeta(3)\right)
\end{eqnarray}
$$
ここで，
$$
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty \frac{t^2e^{-\frac{1}{2}t}}{e^t-1}dt
&=&\int_0^\infty t^2\sum_{n=0}^\infty e^{-(n+\frac{3}{2})t}dt \\
&=&\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty t^2e^{-(n+\frac{3}{2})t}dt \\
&=&\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(n+\frac{3}{2})^3}\qquad（部分積分を用いた） \\
&=&16\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots\right) \\
&=&16\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}-\frac{1}{8}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}-1\right) \\
&=&14\zeta(3)-16
\end{eqnarray}
$$
を元の式に代入することで，
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+2)(n+3)\zeta(n+4)}{2^n}&=& -2\left(\int_0^\infty \frac{t^2e^{-\frac{t}{2}}}{e^t-1}dt-\Gamma(3) \zeta(3)\right) \\
&=&-2(14\zeta(3)-16-2\zeta(3)) \\
&=&32-24ζ(3)
\end{eqnarray}
$$
と答えが得られます．
少し補足なのですが，計算過程で出てきた$\displaystyle \int_0^\infty \frac{t^2e^{-\frac{1}{2}t}}{e^t-1}dt$という積分は，以下で定義されるフルヴィッツ$\zeta$関数（Hurwitz zeta function）の積分表示の一部になっているようです．（この問題を解いていて初めて知りました）
${\rm Re}(s) \gt1,{\rm Re}(a) \gt0$なる複素数$s,a$に対し，
$$ \displaystyle \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(a+n)^s} $$
この関数の積分表示は以下のようになります．
導出は問題の解説の中で示した特殊な場合と同様にできます．
最近，$\zeta$関数を見ると反射的に積分表示に直してしまう癖が付いてきているの良くないです．$\zeta$のまま処理する方法とかあったりするんでしょうか...