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解説大学数学以上

sinhとcoshが含まれる積分

ゼータ関数,積分,双曲線関数
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問題
\begin{align*} \int_0^{\infty}\frac{x^{n-1}e^x}{\sinh x \cosh x} dx~=~?~~~~~(n>1) \end{align*}

解答


\begin{align*} &\int_0^{\infty}\frac{x^{n-1}e^x}{\sinh x \cosh x} dx \\ &= \int_0^{\infty} \frac{4x^{n-1}e^x}{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})} dx \\ &= 2 \int_0^{\infty} x^{n-1} \left(\frac{1}{e^x - e^{-x}} + \frac{1}{e^x + e^{-x}}\right) dx\\ &= 2\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-x}}{1-e^{2x}} dx + \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}} dx\\ &= 2\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{t}{2}\right)^{n-1}e^{-\frac{t}{2}}}{1-e^{-t}} dt + 2\Gamma(n)\beta(n) \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{n-1}}\psi^{(n-1)}\left(\frac12\right) + 2(n-1)!\beta(n) \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{n-1}}\cdot (-1)^n(n-1)! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac12 + k\right)^n} + 2(n-1)!\beta(n)\\ &= 2(n-1)! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^n} + 2(n-1)!\beta(n) \\ &= 2(n-1)! \left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^n} \right) + 2(n-1)!\beta(n) \\ &= 2(n-1)! \left((1-2^{-n})\zeta(n) + \beta(n)\right) \end{align*}
投稿日：2020年11月13日

投稿者

16歳　代数や積分，級数についての記事を書きます！（2021 年時点） → 17 歳　（無限）圏論についての記事を書きます！（2022 年 12 月時点）

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