本当は怖い，高校の数学（問題編）

以下の問に解を与えよ．

1. 二次方程式$x^2-x-1=0$を解け．

2. 循環小数が有理数であることを示せ．

3. 有理数は整数，有限小数，循環小数のいずれかであることを示せ．

4. 自然数$n$と整数$a$に対して，以下の数が常に整数であることを示せ．
   $$\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}$$

5. 有理数$a$，$b$に対し，二つの数列
   $$a_0=a,b_0=b,a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}$$
   を定義する．この二つが、同一極限に収束することを示せ．

6. 導関数が恒等的に$0$となる関数は定数関数であることを示せ．

7. 関数$e^x$，$\log \left(x\right)$，$\sin \left(x\right)$，$\cos \left(x\right)$の定義域をそれぞれ求めよ．

8. $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$，$\log \left(xy\right)=\log \left(x\right)+\log \left(y\right)$を示せ．

9. $\log \left(e^x\right)=x$，および$e^{\log (1+x)}=1+x$を示せ．

10. ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$を示せ．

11. $\sin (x+y)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(y\right)$を示せ．

12. $\sin \left(x\right)$の周期を求めよ．