本当は怖い，高校の数学（問題編）

以下の問に解を与えよ．

1. 二次方程式$x^{2}-x-1=0$を解け．

2. 循環小数が有理数であることを示せ．

3. 有理数は整数，有限小数，循環小数のいずれかであることを示せ．

4. 自然数$n$と整数$a$に対して，以下の数が常に整数であることを示せ．
   $$\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}$$

5. 有理数$a$，$b$に対し，二つの数列
   $$a_{0}=a,\ b_{0}=b,\ a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},\ b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}$$
   を定義する．この二つが、同一極限に収束することを示せ．

6. 導関数が恒等的に$0$となる関数は定数関数であることを示せ．

7. 関数$e^x$，$\log(x)$，$\sin(x)$，$\cos(x)$の定義域をそれぞれ求めよ．

8. $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$，$\log(xy)=\log(x)+\log(y)$を示せ．

9. $\log\left(e^x\right)=x$，および$e^{\log(1+x)}=1+x$を示せ．

10. $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$を示せ．

11. $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$を示せ．

12. $\sin(x)$の周期を求めよ．