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本当は怖い,高校の数学(問題編)

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以下の問に解を与えよ.

  1. 二次方程式$x^{2}-x-1=0$を解け.

  2. 循環小数が有理数であることを示せ.

  3. 有理数は整数,有限小数,循環小数のいずれかであることを示せ.

  4. 自然数$n$と整数$a$に対して,以下の数が常に整数であることを示せ.
    $$\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}$$

  5. 有理数$a$$b$に対し,二つの数列
    $$a_{0}=a,\ b_{0}=b,\ a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},\ b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}$$
    を定義する.この二つが、同一極限に収束することを示せ.

  6. 導関数が恒等的に$0$となる関数は定数関数であることを示せ.

  7. 関数$e^x$$\log(x)$$\sin(x)$$\cos(x)$の定義域をそれぞれ求めよ.

  8. $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$$\log(xy)=\log(x)+\log(y)$を示せ.

  9. $\log\left(e^x\right)=x$,および$e^{\log(1+x)}=1+x$を示せ.

  10. $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$を示せ.

  11. $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$を示せ.

  12. $\sin(x)$の周期を求めよ.

投稿日:2020116

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