ある問題の八通りの解法

$n⩽2$のときは良い. $n⩾3$のとき, $3^n>5n+1$ならば
$$\begin{array}{r}{3}^{n+1}=3\cdot 3^n>3(5n+1)>5(n+1)+1\end{array}$$が成立するから, 帰納法によって$n=3$の場合の確認に帰せられて, $3^3>5\cdot 3+1$から証明が完了する. $◻$

$s_n=3^n-(5n+1)$なる$s_n$を取って$s_n>0$が成立するための条件を求める. 階差$t_n=s_{n+1}-s_n$は$2\cdot 3^n-5$と計算されるので$s_n>0$$⟺$$n⩾2$. 故に$(s_n)$は$n⩾2$において単調増加であり
$$\begin{array}{r}{s}_1=-3,s_2=-2,11=s_3<s_4<\cdots \end{array}$$なので, 答えは示された. $◻$

$u_n=3^n/(5n+1)$と置くと
$$\begin{array}{r}\frac{u_{n+1}}{u_n}>1⟺\frac{3(5n+1)}{5n+6}>1⟺10n>3\end{array}$$であるから恒に$u_{n+1}>u_n$が成立する. 故に
$$\begin{array}{r}{u}_1<u_2=\frac{9}{11}<1<\frac{27}{16}=u_3<u_4<\cdots \end{array}$$であるから, 答えは示された. $◻$

$n⩽2$のときは正しく, $n⩾3$のとき, 二項定理から
$$\begin{array}{r}{3}^n=3(2+1{)}^{n-1}>3(2^{n-1}+(n-1)\cdot 2^{n-2})⩾3(4+2(n-1))>5n+1\end{array}$$が成立する. $◻$

$n⩽2$のときは正しく, $n⩾3$のとき,
$$\begin{array}{r}{3}^n-1=2(1+3+\cdots +3^{n-1})⩾2(1+3(n-2)+3^2)>5n\end{array}$$が成立する. $◻$

$n⩽2$のときは正しい. $n⩾3$のとき, あらゆる正数$M$に対して
$$\begin{array}{r}{3}^M>e^M=1+{\int }_0^M{e}^x\mathrm{d}x>1+{\int }_0^M\mathrm{d}x=1+M\end{array}$$が成立することを用いると,
$$\begin{array}{r}{3}^n=9\cdot 3^{n-2}>9(1+(n-2))>5n+1\end{array}$$が得られる. $◻$

あらゆる実数$s,t$において
$$\begin{array}{r}\frac{y_1(s)+y_1(t)}{2}=\frac{3^s+3^t}{2}⩾\sqrt{3^s{3}^t}=y_1\left(\frac{s+t}{2}\right)\end{array}$$が成りたつことから$y_1$は凸関数であって, $(x,y)$平面上において, そのグラフは直線$y=y_2(x)$と高々二つの交点を有する. $y_1(0)-y_2(0)=0,$$y_1(2)-y_2(2)=-2<0,$$y_1(3)-y_2(3)=11>0$であるから, $x$が正整数のみを動くとき$y_1(x)>y_2(x)$$⟺$$x⩾3$は真である. $◻$

$n⩽2$のときは良い. $n⩾3$のとき, $0,1,2$のみを項に持つような長さ$n$の数列の構成を考えると, 総ての$3^n$通りの数列の内, $n-1(⩾2)$個の項が同一の数字であるようなものは$6n$通りであるから, $3^n⩾6n>5n+1$が成りたつ. ただし, $n⩾3$によって上記の$6n$通りに重複が生じない点に留意せよ. $◻$