前提知識 : (高校数学程度)
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この問題は, 私が学校の授業で解説に当てられた問題であり, 元々は問題集の基本問題として記載されていたものである. そのため模範解答としての「正攻法」が存在し, 私は「正攻法」を含む八通りの解法を授業にて解説した. 様々な視点が得られるという意味で教養的であると思うので, ここに紹介する
問. 正なる整数$n$に対して, $3^n$と$5n+1$の大小を比較せよ.
答. $n\leqslant2$$\Longrightarrow$$3^n\lt5n+1,\ $$n\geqslant3$$\Longrightarrow$$3^n\gt5n+1.$
$n\leqslant2$のときは良い. $n\geqslant3$のとき, $3^n>5n+1$ならば
$$
\begin{align}
3^{n+1}=3\cdot3^n\gt3(5n+1)\gt5(n+1)+1
\end{align}
$$が成立するから, 帰納法によって$n=3$の場合の確認に帰せられて, $3^3\gt5\cdot3+1$から証明が完了する. $\quad\Box$
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二つの数列$(3^n),\ (5n+1)$の項の大小関係を調べると見れば, これらの一般項の形からして, 連続する二項の差分や比はある程度単調であろうと推測して用いることができる. たとえば, 数列$(3^n)$の増加比率が後者よりも大きいことから, 二つの数のゆくゆく離れる様子を一般的に表現すると, 先の「正攻法」のような帰納的な記述に成る.
$s_n=3^n-(5n+1)$なる$s_n$を取って$s_n\gt0$が成立するための条件を求める. 階差$t_n=s_{n+1}-s_n$は$2\cdot3^n-5$と計算されるので$s_n\gt0$$\Longleftrightarrow$$n\geqslant2$. 故に$(s_n)$は$n\geqslant2$において単調増加であり
$$
\begin{align}
s_1=-3,\ s_2=-2,\ 11=s_3\lt s_4\lt\cdots
\end{align}
$$なので, 答えは示された. $\quad\Box$
$u_n=3^n/(5n+1)$と置くと
$$
\begin{align}
\frac{u_{n+1}}{u_n}\gt1\Longleftrightarrow\frac
{3(5n+1)}{5n+6}\gt1\Longleftrightarrow10n\gt3
\end{align}
$$であるから恒に$u_{n+1}\gt u_n$が成立する. 故に
$$
\begin{align}
u_1\lt u_2=\frac{9}{11}\lt1\lt\frac{27}{16}=u_3\lt u_4\lt\cdots
\end{align}
$$であるから, 答えは示された. $\quad\Box$
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与えられた二つの式を, 大小の比較をしやすい形へと変えることで証明する.
$n\leqslant2$のときは正しく, $n\geqslant3$のとき, 二項定理から
$$
\begin{align}
3^n=3(2+1)^{n-1}\gt3\left(2^{n-1}+(n-1)\cdot2^{n-2}\right)\geqslant3\left(4+2(n-1)\right)\gt5n+1
\end{align}
$$が成立する. $\quad\Box$
$n\leqslant2$のときは正しく, $n\geqslant3$のとき,
$$
\begin{align}
3^n-1=2(1+3+\cdots+3^{n-1})\geqslant2(1+3(n-2)+3^2)\gt5n
\end{align}
$$が成立する. $\quad\Box$
$n\leqslant2$のときは正しい. $n\geqslant3$のとき, あらゆる正数$M$に対して
$$
\begin{align}
3^M\gt e^M=1+\int_0^Me^x{\rm d}x\gt1+\int_0^M{\rm d}x=1+M
\end{align}
$$が成立することを用いると,
$$
\begin{align}
3^n=9\cdot3^{n-2}\gt9\left(1+(n-2)\right)\gt5n+1
\end{align}
$$が得られる. $\quad\Box$
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変数$n$を連続なる実変数$x$に置きかえて, 実数の全体を定義域に持つ連続関数
$$
\begin{align}
y_1(x)=3^x,\quad y_2(x)=5x+1
\end{align}
$$を考察する.
あらゆる実数$s,t$において
$$
\begin{align}
\frac{y_1(s)+y_1(t)}{2}=\frac{3^s+3^t}{2}\geqslant\sqrt{3^s3^t}=y_1\left(\frac{s+t}{2}\right)
\end{align}
$$が成りたつことから$y_1$は凸関数であって, $(x,y)$平面上において, そのグラフは直線$y=y_2(x)$と高々二つの交点を有する. $y_1(0)-y_2(0)=0,\ $$y_1(2)-y_2(2)=-2\lt0,\ $$y_1(3)-y_2(3)=11\gt0$であるから, $x$が正整数のみを動くとき$y_1(x)\gt y_2(x)$$\Longleftrightarrow$$x\geqslant3$は真である. $\quad\Box$
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$n\leqslant2$のときは良い. $n\geqslant3$のとき, $0,1,2$のみを項に持つような長さ$n$の数列の構成を考えると, 総ての$3^n$通りの数列の内, $n-1(\geqslant2)$個の項が同一の数字であるようなものは$6n$通りであるから, $3^n\geqslant6n\gt5n+1$が成りたつ. ただし, $n\geqslant3$によって上記の$6n$通りに重複が生じない点に留意せよ. $\quad\Box$
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