ある問題の八通りの解法

$n\leqslant2$のときは良い. $n\geqslant3$のとき, $3^n>5n+1$ならば
$$ \begin{align} 3^{n+1}=3\cdot3^n\gt3(5n+1)\gt5(n+1)+1 \end{align} $$が成立するから, 帰納法によって$n=3$の場合の確認に帰せられて, $3^3\gt5\cdot3+1$から証明が完了する. $\quad\Box$

$s_n=3^n-(5n+1)$なる$s_n$を取って$s_n\gt0$が成立するための条件を求める. 階差$t_n=s_{n+1}-s_n$は$2\cdot3^n-5$と計算されるので$s_n\gt0$$\Longleftrightarrow$$n\geqslant2$. 故に$(s_n)$は$n\geqslant2$において単調増加であり
$$ \begin{align} s_1=-3,\ s_2=-2,\ 11=s_3\lt s_4\lt\cdots \end{align} $$なので, 答えは示された. $\quad\Box$

$u_n=3^n/(5n+1)$と置くと
$$ \begin{align} \frac{u_{n+1}}{u_n}\gt1\Longleftrightarrow\frac {3(5n+1)}{5n+6}\gt1\Longleftrightarrow10n\gt3 \end{align} $$であるから恒に$u_{n+1}\gt u_n$が成立する. 故に
$$ \begin{align} u_1\lt u_2=\frac{9}{11}\lt1\lt\frac{27}{16}=u_3\lt u_4\lt\cdots \end{align} $$であるから, 答えは示された. $\quad\Box$

$n\leqslant2$のときは正しく, $n\geqslant3$のとき, 二項定理から
$$ \begin{align} 3^n=3(2+1)^{n-1}\gt3\left(2^{n-1}+(n-1)\cdot2^{n-2}\right)\geqslant3\left(4+2(n-1)\right)\gt5n+1 \end{align} $$が成立する. $\quad\Box$

$n\leqslant2$のときは正しく, $n\geqslant3$のとき,
$$ \begin{align} 3^n-1=2(1+3+\cdots+3^{n-1})\geqslant2(1+3(n-2)+3^2)\gt5n \end{align} $$が成立する. $\quad\Box$

$n\leqslant2$のときは正しい. $n\geqslant3$のとき, あらゆる正数$M$に対して
$$ \begin{align} 3^M\gt e^M=1+\int_0^Me^x{\rm d}x\gt1+\int_0^M{\rm d}x=1+M \end{align} $$が成立することを用いると,
$$ \begin{align} 3^n=9\cdot3^{n-2}\gt9\left(1+(n-2)\right)\gt5n+1 \end{align} $$が得られる. $\quad\Box$

あらゆる実数$s,t$において
$$ \begin{align} \frac{y_1(s)+y_1(t)}{2}=\frac{3^s+3^t}{2}\geqslant\sqrt{3^s3^t}=y_1\left(\frac{s+t}{2}\right) \end{align} $$が成りたつことから$y_1$は凸関数であって, $(x,y)$平面上において, そのグラフは直線$y=y_2(x)$と高々二つの交点を有する. $y_1(0)-y_2(0)=0,\ $$y_1(2)-y_2(2)=-2\lt0,\ $$y_1(3)-y_2(3)=11\gt0$であるから, $x$が正整数のみを動くとき$y_1(x)\gt y_2(x)$$\Longleftrightarrow$$x\geqslant3$は真である. $\quad\Box$

$n\leqslant2$のときは良い. $n\geqslant3$のとき, $0,1,2$のみを項に持つような長さ$n$の数列の構成を考えると, 総ての$3^n$通りの数列の内, $n-1(\geqslant2)$個の項が同一の数字であるようなものは$6n$通りであるから, $3^n\geqslant6n\gt5n+1$が成りたつ. ただし, $n\geqslant3$によって上記の$6n$通りに重複が生じない点に留意せよ. $\quad\Box$