群の作用

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導入

唐突ですが、 $x y$ 平面上に、３点 $P_{1} (1, 0), P_{2} (\cos (2 π / 3), \sin (2 π / 3)), P_{3} (\cos (4 π / 3), \sin (4 π / 3))$ をとり、
$r = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}), t = (\begin{array}{cc} \cos (2 π / 3) & - \sin (2 π / 3) \\ \sin (2 π / 3) & \cos (2 π / 3) \end{array}) \end{array}$
とすると、次のような乗法表を作ることができます。

$\begin{array}{cccc} P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ e & P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ t & P_{2} & P_{3} & P_{1} \\ t^{2} & P_{3} & P_{1} & P_{2} \\ r & P_{1} & P_{3} & P_{2} \\ r t & P_{3} & P_{2} & P_{1} \\ r t^{2} & P_{2} & P_{1} & P_{3} \end{array}$

一番左の列に並んでいる6個の行列は群をなしていることに注意してください。この群を $D_{3}$ と書きます。また、 $T = {P_{1}, P_{2}, P_{3}}$ としておきましょう。この表(以下、表１)を考察していきます。

群の作用

まず、概念の定義から。

群の作用

$G$ を群、 $X$ を集合とする。 $G$ の $X$ への左作用とは、写像 $ϕ : G \times X \to X$ であり、次の性質を満たすものである。
(1) $ϕ (1_{G}, x) = x$
(2) $ϕ (g, ϕ (h, x)) = ϕ (g h, x)$

この定義１を使って、「表１は $D_{3}$ の ${P_{1}, P_{2}, P_{3}}$ への作用を表している」と表現することができます。

行に注目

表１を行ごとにみると、いつも $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ が一回ずつ現れていることがわかります。このことについて考えてみましょう。

定義１は、群の元を写像とみなしていると考えられます。ただし、写像の合成と群の積を対応させよう、というわけです。だから、 $ϕ (g, x)$ のことを $g x$ とも書きます。この対応により、各 $g \in G$ (に対応する写像)は全単射になります。なぜなら、任意の $g \in G$ には逆元 $g^{- 1} \in G$ があり、これらは逆写像の関係にあるからです。すると、 $X$ が有限集合のとき、 $g$ が作用することを、 $X$ の元をシャッフルすること、すなわち置換とみなすことができます。実際、表１において、同じ行には $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ が一回ずつ現れています。そして、例えば $t^{2}$ の行を参照することにより、 $t^{2}$ は
$\begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}) \end{array} \in S_{3}$
と同一視することができるわけです。

列に注目

表１を列ごとにみると、いつも $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ が二回ずつ現れていることがわかります。このことについて考えてみましょう。
まず、各 $P_{i}$ の列のことを、 $P_{i}$ の $D_{3}$ による軌道、といいます。厳密には次のように定義されます。

軌道

群 $G$ が集合 $X$ に作用するとき、 $x \in X$ に対して $G \cdot x := {g x | g \in G}$ と定義し、これを $x$ の $G$ による軌道という。

さて、表１ではどの $P_{i}$ の軌道も $T$ に一致しますが、特に、各元が二回ずつ現れていることは注目に値します。これは偶然でしょうか。 $P_{1}$ の列で考えてみましょう。

例えば、 $e$ と $r$ は共に $P_{1}$ を $P_{1}$ に移します。
$e P_{1} = r P_{1} (= P_{1})$
同様に、 $t$ と $r t^{2}$ は共に $P_{1}$ を $P_{2}$ に移します。
$t P_{1} = r t^{2} P_{1} (= P_{2})$
これは、 $r t^{2} = t r$ であることを使うと、
$t P_{1} = t r P_{1}$
と書き直せ、 $r P_{1} = P_{1}$ を考えれば当たり前の式です。さらに、
$t^{2} P_{1} = r t P_{1} (= P_{3})$
ですが、これも $r t = t^{2} r, r P_{1} = P_{1}$ を考えれば当たり前だと思えるはずです。このことを明示的にするために、表１を書き直したものが下表です。

$\begin{array}{cccc} P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ e & P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ t e & P_{2} & P_{3} & P_{1} \\ t^{2} e & P_{3} & P_{1} & P_{2} \\ r & P_{1} & P_{3} & P_{2} \\ t r & P_{2} & P_{1} & P_{3} \\ t^{2} r & P_{3} & P_{2} & P_{1} \end{array}$
こうみると、もはや $P_{1}$ の列に $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ が二回ずつ現れていたのは偶然ではないことがはっきりわかります。つまり、 $D_{3}$ は $k e, k r (k = e, t, t^{2})$ のペア3組でできており、その各ペアの $P_{1}$ の移す先が等しいために、このようなことが起きていたのです。そして、このペアによる分類は、剰余類 $D_{3} / {e, r}$ に他なりません。 ${e, r}$ とは $P_{1}$ を $P_{1}$ 自身に移す元の集合です。一般に、このような集合は群をなし、安定化群といいます。
この議論はどの列にも当てはまることなので、一般に次の定理が成り立ちます。

有限群 $G$ が集合 $X$ に作用するとする。このとき $x \in X$ の軌道 $G \cdot x$ とその安定化群 $G_{x}$ による剰余類 $G / G_{x}$ の間に一対一の対応がある。したがって特に、 $| G \cdot x | = (G : G_{x})$ である。

なぜ「剰余」類というのか

この文脈において、私は「剰余」類という名前をより実感したような気がしました。というのも、 $r G_{x} \in G / G_{x}$ とするとき、任意の $g \in r G_{x}$ に対して、 $g x = r x$ となるわけですが、これは「 $g$ を $G_{x}$ で割ったあまりが $r$ 」といいたくなるような構造をしていると思うのです。
$g \equiv r \mod G_{x}$
とでも書きたいくらいです。

群の作用の例

表１の話からは離れますが、少し群作用の例をみておきましょう。

自分自身への作用(1)

$G$ が有限群のとき、 $G$ の $G$ への作用を考えれば、各 $g \in G$ は、 $G$ の元の置換、すなわち $S_{| G |}$ の元であるわけです。そして、写像の合成と群の積を対応させたものが群の作用でしたから、置換の積と群の積は当然対応しており、このようにして $G$ から $S_{| G |}$ への準同型が生まれます。すなわち、次の定理を得ます。

Cayley

$G$ が有限群ならば、 $G$ は $S_{| G |}$ の部分群と同型である。

自分自身への作用(2) 共役による作用

$Ad : G \times G \to G$ を、 $Ad (g, x) = g x g^{- 1}$ で定義します。面倒なので $Ad (g, x) = g \cdot x$ と書くことにします。するとこれも作用になっています。実際、
$1_{G} \cdot x = 1_{G} x 1_{G}^{- 1} = x g \cdot (h \cdot x) = g (h x h^{- 1}) g^{- 1} = (g h) x (g h)^{- 1} = (g h) \cdot x$
となります。 $y = g x g^{- 1}$ となるとき、 $x, y$ は共役であるといいます。

線型な作用

作用とは、群の元を写像とみなしたものでしたから、写像の中でも線型な写像を考えてみよう、というのは自然な発想です。直交群 $O (2)$ を考えてみます。行列とベクトルの積をそのまま用いれば、 $O (2)$ から列ベクトル空間 $R^{2}$ への作用が得られます。 $O (2)$ の元に対応する写像は線型なので、こういう作用を、線型な作用といいます。