ζ(2,2,2,..)とζ(4,4,4,..)について

この記事では$\zeta (2,2,2,\dots ,2)$と$\zeta (4,4,4,\dots ,4)$の一般化式の導出を書いてみます。

$\zeta (2,2,2,\dots ,2)$を簡単な式で表す

$\sin \left(x\right)$の無限積展開を考えることで係数に$\zeta (2,2,2,\dots ,2)$が出ることを使います。
${\displaystyle \sin \left(\pi x\right)=\pi x\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})}$
を展開して
${\displaystyle \frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (\underset{k個}{\underbrace{2,\dots ,2}})x^{2k}}$
また、マクローリン展開を使うと${\displaystyle \sin \left(x\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}}$
よって、
${\displaystyle \frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(\pi x{)}^{2k}}{(2k+1)!}=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (\underset{k個}{\underbrace{2,\dots ,2}})x^{2k}}$
となり、$x^{2k}$の係数比較をすることで${\displaystyle \frac{{\pi }^{2k}}{(2k+1)!}=\zeta (\underset{k個}{\underbrace{2,\dots ,2}})}$

$\zeta (4,4,4,\dots ,4)$を簡単な式で表す

先ほどと同じように${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^4}{n^4})}$という式を作ればよい。
${\displaystyle \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{x^4}{m^4}=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (\underset{k個}{\underbrace{4,4,4,\dots ,4}})x^{4k}}}$
であり、
${\displaystyle \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{x^4}{m^4}}$
${\displaystyle =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{m^2})(1+\frac{x^2}{m^2})}$
${\displaystyle =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{m^2})(1-\frac{(ix{)}^2}{m^2})}$
${\displaystyle =\frac{\sin \left(\pi x\right)\ast \sin \left(i\pi x\right)}{i{\pi }^2{x}^2}}$
ここでこの式にマクローリン展開を使う。
${\displaystyle \frac{\sin \left(\pi x\right)\ast \sin \left(i\pi x\right)}{i{\pi }^2{x}^2}}$
${\displaystyle =\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(\pi x{)}^{2k}}{(2k+1)!}\right)\times \left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(i\pi x{)}^{2k}}{(2k+1)!}\right)}$
${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=0}^k\frac{(-1{)}^s(\pi x{)}^{2k}}{(2s+1)!}\frac{(\pi x{)}^{2k-2s}}{(2k-2s+1)!}}$(同じ次数の項の係数をまとめた)
${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{s=0}^k\frac{(-1{)}^s}{(2s+1)!(2k-2s+1)!}\right){\pi }^{2k}{x}^{2k}}$
${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^{2k+1}}{(4k+2)!}{\pi }^{4k}{x}^{4k}}$
よって
${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^{2k+1}}{(4k+2)!}{\pi }^{4k}{x}^{4k}=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (\underset{k個}{\underbrace{4,4,4,\dots ,4}})x^{4k}}}$
なので、係数を比較して
${\displaystyle \frac{2^{2k+1}{\pi }^{4k}}{(4k+2)!}=\zeta (\underset{k個}{\underbrace{4,4,4,\dots ,4}})}$

最後に

これを続ければ$\zeta (2n,2n,2n\dots ,2n)$も求められそうですが、工夫がいりそうです。
　$2$つとも結果の式はとてもきれいになりましたね！
　お読みいただきありがとうございました！是非グッドをしてください()