ζ(2,2,2,..)とζ(4,4,4,..)について

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この記事では$\zeta(2,2,2,\dots,2)$と$\zeta(4,4,4,\dots,4)$の一般化式の導出を書いてみます。

$\zeta(2,2,2,\dots,2)$を簡単な式で表す

$\sin(x)$の無限積展開を考えることで係数に$\zeta(2,2,2,\dots,2)$が出ることを使います。
$\d\sin(\pi x)=\pi x\prod_{k=1}^\infty \kakko{1-\frac{x^2}{n^2}}$
を展開して
$\d\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\zeta(\underbrace{2,\dots,2}_{k個})x^{2k}$
また、マクローリン展開を使うと$\d\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$
よって、
$\d\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(\pi x)^{2k}}{(2k+1)!}=1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\zeta(\underbrace{2,\dots,2}_{k個})x^{2k}$
となり、$x^{2k}$の係数比較をすることで$\d\frac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}=\zeta(\underbrace{2,\dots,2}_{k個})$

$\d\zeta(\underbrace{2,2,2,\dots,2}_{n個})=\frac{\pi^{2n}}{(2n+1)!}$

$\zeta(4,4,4,\dots,4)$を簡単な式で表す

先ほどと同じように$\d\prod_{k=1}^\infty \kakko{1-\frac{x^4}{n^4}}$という式を作ればよい。
$\displaystyle \prod_{m=1}^\infty 1-\frac{x^4}{m^4}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\zeta(\underbrace{4,4,4,\dots,4}_{k個})x^{4k}$
であり、
$\displaystyle \prod_{m=1}^\infty 1-\frac{x^4}{m^4}$
$\displaystyle =\prod_{m=1}^\infty \kakko{1-\frac{x^2}{m^{2}}}\kakko{1+\frac{x^2}{m^{2}}}$
$\displaystyle =\prod_{m=1}^\infty \kakko{1-\frac{x^2}{m^{2}}}\kakko{1-\frac{(ix)^2}{m^{2}}}$
$\d =\frac{\sin(\pi x)*\sin(i\pi x)}{i\pi^2x^2}$
ここでこの式にマクローリン展開を使う。
$\d \frac{\sin(\pi x)*\sin(i\pi x)}{i\pi^2x^2}$
$\d =\kakko{\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(\pi x)^{2k}}{(2k+1)!}}\times \kakko{\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(i\pi x)^{2k}}{(2k+1)!}}$
$\d =\sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k\frac{(-1)^s(\pi x)^{2k}}{(2s+1)!}\frac{(\pi x)^{2k-2s}}{(2k-2s+1)!}$(同じ次数の項の係数をまとめた)
$\d =\sum_{k=0}^\infty \kakko{\sum_{s=0}^k\frac{(-1)^s}{(2s+1)!(2k-2s+1)!}}\pi^{2k} x^{2k}$
$\d =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(4k+2)!}\pi^{4k} x^{4k}$
よって
$\d \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(4k+2)!}\pi^{4k} x^{4k}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\zeta(\underbrace{4,4,4,\dots,4}_{k個})x^{4k}$
なので、係数を比較して
$\d \frac{2^{2k+1}\pi^{4k}}{(4k+2)!}=\zeta(\underbrace{4,4,4,\dots,4}_{k個})$