本当は怖い，高校の数学（解答編１）

解答例

各素体における根の有無を求め，存在すればそれを明示することで，この問に対する解答とする．

準備として，以下の式変形を行っておく．
$$x^2-x-1=0⟹(x-2^{-1}{)}^2=1+2^{-2}=(2^{-1}{)}^2\times (2^2+1)$$

この変形により，この問題は，標数が$p\ne 2$である体においては，「$(2^2+1)$は平方元か？」という問題に帰着された．

• 標数$p=2$のとき（${\mathbb{F}}_2$）

この場合は，上の変形が使えないので，全ての元について根であるかどうかを計算する．
$$0^2-0-1=1\ne 0,1^2-1-1=1\ne 0$$
であるから，方程式は${\mathbb{F}}_2$上で根を持たない．従って，最小分解体は${\mathbb{F}}_2$の$2$次拡大体
$${\mathbb{F}}_2[t]/(t^2+t+1)={\mathbb{F}}_{2^2}$$
であり，方程式の根は$t$と$t+1$である．

• 標数$p>2$のとき（${\mathbb{F}}_p$）

${\mathbb{F}}_5$における二乗の演算は
$$1^2=1,2^2=4,3^2=4,4^2=1$$
であるから，平方剰余記号を用いて表すと，以下のようになる．
$$\left(\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{4}{5}\right)=1,\left(\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{3}{5}\right)=-1$$
また，平方剰余の相互法則から，
$$\left(\frac{5}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{5-1}{2}}(\frac{p}{5})=(\frac{p}{5})$$
であるから，「$5$が${\mathbb{F}}_p$で平方元」と「$p$が${\mathbb{F}}_5$で平方元」が同値である．従って，各素体における最小分解体は，次のようになる．

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}{\mathbb{F}}_p& (p\equiv 0,1,4\mathrm{mod}5)\\ {\mathbb{F}}_p[t]/(t^2-t-1)& (p\equiv 2,3\mathrm{mod}5)\end{array}\end{array}$$

以下,正標数における「解の公式」について説明する．

後日，追記予定

• 標数$0$のとき（$\mathbb{Q}$）

この体は，$1$を何度足しても$0$にならないという，かなり特殊な性質を持っているので，虱潰しに根を探すという解法が通用しない．

方程式の左辺は，整数係数一変数多項式の既約判定法
$$「ある素数pを法にして{\mathbb{F}}_p[x]で既約」⟹\mathbb{Z}[x]で既約」⟺「\mathbb{Q}[x]で既約ある」$$

より，有理数係数一変数多項式の世界では因数分解不可能であり，故に方程式は有理数の根を持たない．従って，$\mathbb{Q}$上の最小分解体は
$$\mathbb{Q}[t]/(t^2-t-1)$$
であり，方程式の根は，$5$の平方根（の一つ）を$\sqrt{5}$とおく事で，次の様に書き表される．
$$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$
以下，小数という概念を用いて$\mathbb{Q}$を完備化し，根の明示を試みる．

• $p$-進体（${\mathbb{Q}}_p$）

まず，ヘンゼルの補題から，$p\ne 2,5$に対して，
$$「5が{\mathbb{Q}}_pで平方元」⟺「5が{\mathbb{F}}_pで平方元」$$
であるから，$p\equiv 1,4\mathrm{mod}5$となる素数$p$に関して，$5$の平方根は${\mathbb{Q}}_p$の元であり，小数表示が可能である．例えば，${\mathbb{Q}}_{11}$における$5$の平方根は，直接計算（やニュートン法等）により
$$\cdots 2516067.0,\cdots 8594a44.0(a=10)$$
である事が確かめられるので，
${\mathbb{Q}}_{11}$における方程式の根は次の様に近似される．
$$\cdots 1363034.0,\cdots 9848a78.0(a=10)$$

• 実数体（$\mathbb{R}$）

この体は，アルキメデス付値による完備なので，他の体とはかなり性質が異なる（例えば，小数展開は後ろに続き，その表示は一意ではなく、弱い三角不等式しか成立しない）．
しかし，この体は距離に関して順序体であるので，次の不等式を満たす様に$a_n$を定める事でコーシー列$\{b_n\}$を作る事が出来る．

$$2<a_1<3,2.2<a_2<2.3,2.23<a_3<2.24,\cdots$$

この数列は${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\sqrt{5}=2.2360679...}$に収束し，実数体に含まれる．従って，方程式の根は次の様に近似された．
$$x=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}=1.6180339\cdots \\ {\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}=-0.6180339\cdots \end{array}\end{array}$$