二次方程式$x^{2}-x-1=0$を解け．
解答例
各素体における根の有無を求め，存在すればそれを明示することで，この問に対する解答とする．
準備として，以下の式変形を行っておく．
$$x^{2}-x-1=0 \Longrightarrow (x-2^{-1})^{2}=1+2^{-2}=(2^{-1})^{2}\times(2^{2}+1)
$$
この変形により，この問題は，標数が$p\neq 2$である体においては，「$(2^{2}+1)$は平方元か？」という問題に帰着された．
この場合は，上の変形が使えないので，全ての元について根であるかどうかを計算する．
$$0^{2}-0-1=1\neq0,\ \ \ \ \ 1^{2}-1-1=1\neq0$$
であるから，方程式は$\mathbb{F}_{2}$上で根を持たない．従って，最小分解体は$\mathbb{F}_{2}$の$2$次拡大体
$$\mathbb{F}_{2}[t]/(t^{2}+t+1)=\mathbb{F}_{2^{2}}$$
であり，方程式の根は$t$と$t+1$である．
$\mathbb{F}_{5}$における二乗の演算は
$$1^{2}=1,\ \ \ \ \ 2^{2}=4,\ \ \ \ \ 3^{2}=4,\ \ \ \ \ 4^{2}=1$$
であるから，平方剰余記号を用いて表すと，以下のようになる．
$$\left(\frac{\ 1\ }{5}\right)=\left(\frac{\ 4\ }{5}\right)=1,\ \ \ \ \ \left(\frac{\ 2\ }{5}\right)=\left(\frac{\ 3\ }{5}\right)=-1
$$
また，平方剰余の相互法則から，
$$\left(\frac{\ 5\ }{p}\right) =(-1)^{\frac{p-1}{2}{\frac{5-1}{2}}}\biggl(\frac{\ p\ }{5}\biggr)=\biggl(\frac{\ p\ }{5}\biggr)$$
であるから，「$5$が$\mathbb{F}_{p}$で平方元」と「$p$が$\mathbb{F}_{5}$で平方元」が同値である．従って，各素体における最小分解体は，次のようになる．
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{F}_{p} & (p\equiv 0,1,4\ \mathrm{mod}\ 5)\\ \mathbb{F}_{p}[t]/(t^{2}-t-1) & (p\equiv 2,3\ \mathrm{mod}\ 5) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
以下,正標数における「解の公式」について説明する．
後日，追記予定
この体は，$1$を何度足しても$0$にならないという，かなり特殊な性質を持っているので，虱潰しに根を探すという解法が通用しない．
方程式の左辺は，整数係数一変数多項式の既約判定法
$$「ある素数pを法にして\mathbb{F}_{p}[x]で既約」 \Longrightarrow\mathbb{Z}[x]で既約」 \Longleftrightarrow「\mathbb{Q}[x]で既約ある」$$
より，有理数係数一変数多項式の世界では因数分解不可能であり，故に方程式は有理数の根を持たない．従って，$\mathbb{Q}$上の最小分解体は
$$\mathbb{Q}[t]/(t^{2}-t-1)$$
であり，方程式の根は，$5$の平方根（の一つ）を$\sqrt{5}$とおく事で，次の様に書き表される．
$$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$
以下，小数という概念を用いて$\mathbb{Q}$を完備化し，根の明示を試みる．
まず，ヘンゼルの補題から，$p\neq 2,5$に対して，
$$「5が\mathbb{Q}_{p}で平方元」 \Longleftrightarrow「5が\mathbb{F}_{p}で平方元」$$
であるから，$p\equiv 1,4\ \mathrm{mod}\ 5$となる素数$p$に関して，$5$の平方根は$\mathbb{Q}_{p}$の元であり，小数表示が可能である．例えば，$\mathbb{Q}_{11}$における$5$の平方根は，直接計算（やニュートン法等）により
$$\cdots 2516067.0, \ \ \ \ \ \cdots 8594a44.0\ \ \ (a=10)$$
である事が確かめられるので，
$\mathbb{Q}_{11}$における方程式の根は次の様に近似される．
$$\cdots 1363034.0,\ \ \ \ \ \cdots 9848a78.0\ \ \ (a=10)$$
この体は，アルキメデス付値による完備なので，他の体とはかなり性質が異なる（例えば，小数展開は後ろに続き，その表示は一意ではなく、弱い三角不等式しか成立しない）．
しかし，この体は距離に関して順序体であるので，次の不等式を満たす様に$a_{n}$を定める事でコーシー列$\{b_{n}\}$を作る事が出来る．
$$2< a_{1}<3, \ \ \ 2.2< a_{2}<2.3, \ \ \ 2.23< a_{3}<2.24, \ \ \ \cdots$$
この数列は$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sqrt{5}=2.2360679...$に収束し，実数体に含まれる．従って，方程式の根は次の様に近似された．
$$x= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339\cdots \\
\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.6180339\cdots
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$