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初投稿なので軽く。

$$ \Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt $$

$$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt $$
ここで$t＝u^2 $と置換すると、
$$\quad\int_0^\infty u^{-1}e^{-u^{2}}2udu$$
$$=2\int_0^\infty e^{-u^{2}}du$$
$$= \sqrt{\pi}$$

なお、最後の部分はガウス積分を用いた。