test

初投稿なので軽く。

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{x-1}dt$$

$$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{-\frac{1}{2}}dt$$
ここで$t＝u^2$と置換すると、
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-1}{e}^{-u^2}2udu$$
$$=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}du$$
$$=\sqrt{\pi }$$

なお、最後の部分はガウス積分を用いた。