微分したら負になる関数
初めに
はじめまして.そほけろと申します.
今回はTeX(数学の書類を書くためのhtmlみたいなもの)の練習もかねて,マクローリン展開を使って実数の範囲で微分したら負になる関数を求めていきたいと思います.
目次
- マクローリン展開の軽い説明
- 本題
マクローリン展開の軽い説明
$f(x)$において,$x$がどんな実数でも無限に微分可能なとき,$f(x)$を$n$回微分した$f^{(n)}(x)$において,$x=0$のときの$f^{(n)}(x)$の値を$a_n$とおくと,
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_kx^k}{k!}=
a_0
+\frac{a_1x}{1!}
+\frac{a_2x^2}{2!}
+\frac{a_3x^3}{3!}
+\frac{a_4x^4}{4!}
+...$
が収束するとき,
$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_kx^k}{k!}= a_0 +\frac{a_1x}{1!} +\frac{a_2x^2}{2!} +\frac{a_3x^3}{3!} +\frac{a_4x^4}{4!} +...$
証明は...解析学の本を読んで...私に教えてください(おい)
本題
もとめるべき$f(x)$を置いたとき,
$f(x)=-f'(x)$
より,
$f(x)=f''(x)$
が成り立つ.
よって,この関数は帰納的に無限回微分可能であり,
$f(x)$を$n$回微分した$f^{(n)}(x)$において,$x=0$のときの$f^{(n)}(x)$の値を$a_n$とおくと,
$
\left\{
\begin{array}{ll}
a_0 & n\equiv 0\\
-a_0 & n\equiv 1 & (mod\ \ 2)
\end{array}
\right.
$
となるので,
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_kx^k}{k!}= a_0 +\frac{-x}{1!} +\frac{a_2x^2}{2!} +\frac{a_3x^3}{3!} +\frac{a_4x^4}{4!} +...$は
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^ka_0x^k}{k!}=
a_0
-\frac{a_0x}{1!}
+\frac{a_0x^2}{2!}
-\frac{a_0x^3}{3!}
+\frac{a_0x^4}{4!}
+...\ \ \ \ \ \ -(1)$
となる.
ここで,
$e^y= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^k}{k!}= 1 +\frac{y}{1!} +\frac{y^2}{2!} +\frac{y^3}{3!} +\frac{y^4}{4!} +...$
この式の$y$に$-x$を代入し,両辺を$a_0$でかけると,
$a_0e^{-x}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^ka_0x^k}{k!}=
a_0
-\frac{a_0x}{1!}
+\frac{a_0x^2}{2!}
-\frac{a_0x^3}{3!}
+\frac{a_0x^4}{4!}
+...\ \ \ \ \ \ -(2)$
となる.
よって$(1)=(2)$となり,収束するので,
$f(x)=ae^{-x}\ \ \ \ \ (a$は任意の実数$)$
となる.
