ζ(1,1,2)=ζ(4)の証明2

はじめに

この記事ではまた新たに$\zeta (1,1,2)=\zeta (4)$の証明を発見したので、それについて書きます。

また、 こちら の記事で過去に発見した$\zeta (1,1,2)=\zeta (4)$の証明について書いているので、先にそちらを読むことをお勧めします。

証明

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \zeta (1,1,2)}\\ & =& \sum _{0<a<b<c}\frac{1}{ab{c}^2}\\ & =& \sum _{0<a,b,c}\frac{1}{a(a+b)(a+b+c{)}^2}\\ & =& \sum _{0<a,b,c}\frac{1}{a(a+b)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-(a+b+c)x}dx\\ & =& \sum _{0<a,b,c}(\frac{1}{ab}-\frac{1}{b(a+b)}){\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-(a+b+c)x}dx\\ & =& \sum _{0<a,b,c}\frac{1}{ab}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-(a+b+c)x}dx-\sum _{0<a,b,c}\frac{1}{a(a+b)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-(a+b+c)x}dx\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{0<a,b,c}\frac{1}{ab}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-(a+b+c)x}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\sum _{0<a,b,c}\frac{(e^{-x}{)}^a(e^{-x}{)}^b(e^{-x}{)}^c}{ab}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x}{\log }^2(1-e^{-x})}{1-e^{-x}}dx\\ & =& -\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\log t{\log }^2(1-t)}{1-t}dt(t=e^{-x})\\ & =& -\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\log }^{2}t\log (1-t)}{t}dt\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\log }^{2}t}{t}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k}dt\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{\int }_0^1{t}^{k-1}{\log }^{2}tdt\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^2{e}^{-ku}du(u=-\log t)\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^2{e}^{-u}du\\ & =& \frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }(3)\zeta (4)\\ & =& \zeta (4)\end{array}$

より、$\zeta (1,1,2)=\zeta (4)$が証明されました。

おわりに

この記事では前回までの証明とは違い、積分を使った方法を考えてみました。やはり積分は全てを解決しますね。