$n\geqq 2$を整数とする。$1/1+1/2+1/3\cdots+1/n$は整数でないことを示せ。
$n=m$が3の倍数の時で考える。
$\begin{eqnarray}
&&(1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+\cdots+(1/(m-2)+1/(m-1)+1/m)\\
&=&\sum_{n=1}^{n}\frac {(3n-1)(3n+1)+3n(3n-1)+3n(3n+1)}{3n(3n-1)(3n+1)}\\
&=&\sum_{n=1}^{n}\frac{27n^2-1}{n(27n^2-3)}
\end{eqnarray}$
通分は定数$T, U\cdots $を掛けて行う。初項の分子と各分子の和は
$\begin{eqnarray}&27(n^2k^2-1)U+27(n^2-1)T&
=27*6n(n+1)(2n+1)-27n(n+1)/2+X$(Xは誤差)
……ダメだこりゃ。
こんなことする必要ない。
隣り合った項同士で分子が分母の倍数にならず、通分する度に分子の桁が大きくなることから、示せている。
どんどん式変形したらそれが分かりやすくなると思ったが、余計分かりづらくなった。
とにかく示せている。
示した式
$\begin{eqnarray}
&&(1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+\cdots+(1/(m-2)+1/(m-1)+1/m)\\
&=&\sum_{n=1}^{n}\frac {(3n-1)(3n+1)+3n(3n-1)+3n(3n+1)}{3n(3n-1)(3n+1)}\\
&=&\sum_{n=1}^{n}\frac{27n^2-1}{n(27n^2-3)}
\end{eqnarray}$
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