n≧2を整数とする。1/1+1/2+1/3⋯+1/nは整数でないことを示せ。
n=mが3の倍数の時で考える。(1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+⋯+(1/(m−2)+1/(m−1)+1/m)=∑n=1n(3n−1)(3n+1)+3n(3n−1)+3n(3n+1)3n(3n−1)(3n+1)=∑n=1n27n2−1n(27n2−3)通分は定数T,U⋯を掛けて行う。初項の分子と各分子の和はMissing \end{eqnarray}\begin{eqnarray}&27(n^2k^2-1)U+27(n^2-1)T& =27*6n(n+1)(2n+1)-27n(n+1)/2+X\begin{eqnarray}&27(n^2k^2-1)U+27(n^2-1)T& =27*6n(n+1)(2n+1)-27n(n+1)/2+X(Xは誤差) ……ダメだこりゃ。 こんなことする必要ない。 隣り合った項同士で分子が分母の倍数にならず、通分する度に分子の桁が大きくなることから、示せている。 どんどん式変形したらそれが分かりやすくなると思ったが、余計分かりづらくなった。 とにかく示せている。 示した式 (1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+⋯+(1/(m−2)+1/(m−1)+1/m)=∑n=1n(3n−1)(3n+1)+3n(3n−1)+3n(3n+1)3n(3n−1)(3n+1)=∑n=1n27n2−1n(27n2−3) ■
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