「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その4

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その4

問題

$n=m$が3の倍数の時で考える。
$\begin{eqnarray} &&(1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+\cdots+(1/(m-2)+1/(m-1)+1/m)\\ &=&\sum_{n=1}^{n}\frac {(3n-1)(3n+1)+3n(3n-1)+3n(3n+1)}{3n(3n-1)(3n+1)}\\ &=&\sum_{n=1}^{n}\frac{27n^2-1}{n(27n^2-3)} \end{eqnarray}$
通分は定数$T, U\cdots $を掛けて行う。初項の分子と各分子の和は
$\begin{eqnarray}&27(n^2k^2-1)U+27(n^2-1)T& =27*6n(n+1)(2n+1)-27n(n+1)/2+X$(Xは誤差) ……ダメだこりゃ。 こんなことする必要ない。 隣り合った項同士で分子が分母の倍数にならず、通分する度に分子の桁が大きくなることから、示せている。 どんどん式変形したらそれが分かりやすくなると思ったが、余計分かりづらくなった。 とにかく示せている。 示した式 $\begin{eqnarray} &&(1/2+1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7)+\cdots+(1/(m-2)+1/(m-1)+1/m)\\ &=&\sum_{n=1}^{n}\frac {(3n-1)(3n+1)+3n(3n-1)+3n(3n+1)}{3n(3n-1)(3n+1)}\\ &=&\sum_{n=1}^{n}\frac{27n^2-1}{n(27n^2-3)} \end{eqnarray}$ ■