グラスマン多様体について。定義と基本的性質。

　グラスマン多様体は教養の線形代数(「教養」というのは、これくらいは知ってろという意味ではなく、教養課程で習う程度のという意味です)程度で色々な計算ができ、代数幾何やトポロジーの諸概念を理解する例として大変便利だと後輩に話したところ、どうもグラスマン多様体に触れられる易しい教科書がないようだと後輩が嘆いていたので、私が書きます。というのがおおよそ本稿の執筆の動機です。
　数学というものの性質上、衒学趣味の小難しい書き方になってしまいますが、ぜひ手元に紙とペンを用意し、行列をたくさん書いてグラスマン多様体に親しんでください。

定義などなど

本稿では$k=\mathbb{C}$として色々な性質を考えていきます。このときに単に$\text{Gr}(n,m)$と書くことにします。また、$n$を固定している状況で$\text{Gr}(m)$と書いたりもすることがあるかもしれません。

　さて、“多様体”と名が付くからにはmanifoldなりvarietyなりの構造が入ってほしいので、入れましょう（実はどちらの構造も入ります）。まず、定義より次の全射があります:
$$\begin{array}{rc}M(n,m):=\{A\in \text{Mat}(n+m,m)\mid \text{rk}(A)=m\}\to & \text{Gr}(n,m)\\ [v_1\cdots v_m]\mapsto & \text{Span}\{v_1,\dots ,v_n\}\end{array}$$

　要するに、部分空間に対してその基底を何でもいいから取りなさいということになります。まず、この全射による商位相を$\text{Gr}(n,m)$の位相として採用します（manifoldの構造を入れるためには、本当ならこの位相が第二可算でハウスドルフであることを確かめないといけないわけですが、気になる人は自分で確かめてみてください。手間はかかりますが、そんなに難しいものではないと思います）。
　さて、まず$M(n,m)$の開被覆$\{V_{\alpha }\}$(ただし、$\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$は多重指数で$1\le {\alpha }_1<\cdots <{\alpha }_m\le m+n$を満たす整数の組すべてを走るようにとります)を次のようにとります:
$$\begin{array}{r}{V}_{\alpha }:=\{A\in M(n,m)\mid \det \left(A_{\alpha }\right)\ne 0\}\end{array}$$
　ただし、$A_{\alpha }$は$A$の第${\alpha }_i$行たちを取り出してきた小行列とします。これが$M(n,m)$の開被覆になることは階数の特徴づけのうちの一つのほとんど直接の言いかえになるので、($V_{\alpha }$に慣れる意味も込めて)自分で確かめてみてください。このとき、$A\in V_{\alpha }$ に$A_{\alpha }$の逆行列を右から掛け算すると$\alpha$行目たちを取り出した小行列が$m\times m$単位行列になっているような行列が得られます。このとき同一視$M(n-m,m)\cong {\mathbb{C}}^{(n-m)\times m}$の下で、$A{A}_{\alpha }^{-1}$の$\alpha$行目以外たちをすべて${\mathbb{C}}^{(n-m)\times m}$へ送ります（字面だけを見るとよくわからないと思うので小さいサイズの行列で計算してみながら構成を追ってみてください）。

　さて、無事にmanifoldの構造が入ったのでvarietyの構造も入れてしまいましょう：

　さて、このプリュッカー埋め込みが実際に埋め込みになっていることは後日気が向けば別の記事で説明することにしましょう。周の定理と呼ばれる強い定理を用いればプリュッカー埋め込みによってグラスマン多様体が代数多様体になることは分かりますが、代数的な関係式を直接見つけてくることもできます。

　いろいろ計算しながら読まれてきた方はそろそろ疲れてきたでしょうし、私も疲れてきたので今回はこの辺りにして、次回からグラスマン多様体の幾何的な諸性質を見ていきましょう。誤植や数学的な誤り、こんなん教養の線形代数でわかるわけないやろ等のご意見は随時お待ちしております。