「ロジスティック方程式」と呼ばれる次の微分方程式
$$ \frac{dx(t)}{dt} = k x(t)(A-x(t)) $$
を考える。
これを解くには、
$$ \frac{dx(t)}{x(t)(A-x(t))} =\frac{1}{A} \left(\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{A-x(t)}\right) dx(t)= k \, dt $$
として両辺を積分し、
$$ \frac{1}{A} \{\log x(t)-\log(A-x(t))\} = kt + C\\ $$
（ここで $C$ は積分定数）とすればよい。
$x(t)$について整理すると、
$$ x(t) = \frac{A}{1+\exp(-A\{kt+C\})} $$
となる。
記号を $b=Ak$, $h=\exp(-AC)$と改めて置くと、
$$ x(t) = \frac{A}{1+h\exp(-bt)} $$
である。