ロジスティック曲線の導出

「ロジスティック方程式」と呼ばれる次の微分方程式

$$\frac{dx(t)}{dt}=kx(t)(A-x(t))$$

を考える。

これを解くには、

$$\frac{dx(t)}{x(t)(A-x(t))}=\frac{1}{A}(\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{A-x(t)})dx(t)=kdt$$

として両辺を積分し、

$$\frac{1}{A}\{\log x(t)-\log (A-x(t))\}=kt+C$$

（ここで $C$ は積分定数）とすればよい。

$x(t)$について整理すると、

$$x(t)=\frac{A}{1+\exp (-A\{kt+C\})}$$

となる。

記号を $b=Ak$, $h=\exp (-AC)$と改めて置くと、

$$x(t)=\frac{A}{1+h\exp (-bt)}$$

である。