ロジスティック曲線の導出

「ロジスティック方程式」と呼ばれる次の微分方程式

$$ \frac{dx(t)}{dt} = k x(t)(A-x(t)) $$

を考える。

これを解くには、

$$ \frac{dx(t)}{x(t)(A-x(t))} =\frac{1}{A} \left(\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{A-x(t)}\right) dx(t)= k \, dt $$

として両辺を積分し、

$$ \frac{1}{A} \{\log x(t)-\log(A-x(t))\} = kt + C\\ $$

（ここで $C$ は積分定数）とすればよい。

$x(t)$について整理すると、

$$ x(t) = \frac{A}{1+\exp(-A\{kt+C\})} $$

となる。

記号を $b=Ak$, $h=\exp(-AC)$と改めて置くと、

$$ x(t) = \frac{A}{1+h\exp(-bt)} $$

である。