RiemannのP関数と超幾何関数で遊んでみようなのだ！

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{x-c}]\frac{dy}{dx}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(a-b)(a-c)}{x-a}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(b-c)(b-a)}{x-b}+\frac{\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}(c-a)(c-b)}{x-c}]\frac{y}{(x-a)(x-b)(x-c)}=0$$
の$x=a$近傍の級数解を$u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-a)}^{n+s}$とおくのだ。また下記のことが成り立つので、RiemannのP微分方程式に${(x-a)}^2$を両辺にかけて${(x-a)}^s$の係数を考えるのだ。$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{du}{dx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+s){(x-a)}^{n+s}\\ \frac{d^{2}u}{d{x}^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+s)(n+s-1){(x-a)}^{n+s}\end{array}\end{array}$$
$$\begin{gathered} s(s-1)+(1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }})s+\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}=(s-\alpha )(s-{\alpha }^{{}^{\prime }}) \\ =0 \end{gathered}$$
このことから、$x=a$での特性指数は$\alpha ,{\alpha }^{{}^{\prime }}$であることが分かる。$x=b,x=c$でも同様なのだ。このことからRiemannのP関数は確定特異点と特性指数を書いたものだとわかるのだ。

$x^{{}^{\prime }}=\frac{rx+s}{px+q}$とすると次のように書き直せるのだ。
$$\begin{array}{rcl}{x}^{{}^{\prime }}& =& \frac{\frac{r}{p}(px+q)+s-\frac{qr}{p}}{px+q}\\ & =& \frac{r}{p}+\frac{s-\frac{qr}{p}}{px+q}\\ & =& \frac{r}{p}+\frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{x+\frac{q}{p}}\end{array}$$
$x^{{}^{\prime }}$で行っていることを細かく分けるのだ。

1. $x_1\leftarrow x+\frac{q}{p}\left(平行移動\right)$
2. $x_2\leftarrow \frac{1}{x_1}\left(反転\right)$
3. $x_3\leftarrow \frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})x_2\left(拡大・回転\right)$
4. $x_4\leftarrow x_3+\frac{r}{p}\left(平行移動\right)$

1. 平行移動：$x_1=x+\delta$とすると、$v\left(x_1\right)=u(x_1-\delta ),\frac{d}{dx}=\frac{d}{d{x}_1},\frac{d^2}{d{x}^2}=\frac{d^2}{d{x}_1^2}$よりRiemannのPBe分方程式は次のように書けるのだ。$$\frac{d^{2}v}{d{x}_1^2}+[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{x_1-(a+\delta )}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{x_1-(b+\delta )}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{x_1-(c+\delta )}]\frac{dv}{d{x}_1}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(a-b)(a-c)}{x_1-(a+\delta )}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(b-c)(b-a)}{x_1-(b+\delta )}+\frac{\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}(c-a)(c-b)}{x_1-(c+\delta )}]\frac{v}{\{x_1-(a+\delta )\}\{x_1-(b+\delta )\}\{x_1-(c+\delta )\}}=0$$より、平行移動による解は次のように書けるのだ。$$P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\to P\left\{\begin{array}{ccc}a+\delta & b+\delta & c+\delta \\ \alpha & \beta & \gamma & x+\delta \\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}$$
2. 拡大・回転：$x_2=px$とすると$v\left(x_2\right)=u\left(\frac{x_2}{p}\right),\frac{d}{dx}=p\frac{d}{d{x}_2},\frac{d^2}{d{x}^2}=p^2\frac{d^2}{d{x}_2^2}$より、RiemannのP微分方程式は次のように書き直せるのだ。$$\begin{array}{rcl}& & p^2\frac{d^{2}v}{d{x}_2^2}+p[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{\frac{x_2}{p}-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{\frac{x_2}{p}-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{\frac{x_2}{p}-c}]\frac{dv}{d{x}_2}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(a-b)(a-c)}{\frac{x_2}{p}-a}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(b-c)(b-a)}{\frac{x_2}{p}-b}+\frac{\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}(c-a)(c-b)}{\frac{x_2}{p}-x}]\frac{v}{\{\frac{x_2}{p}-a\}\{\frac{x_2}{p}-b\}\{\frac{x_2}{p}-c\}}=0\\ & & \frac{d^{2}v}{d{x}_2^2}+[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{x_2-pa}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{x_2-pb}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{x_2-pc}]\frac{dv}{d{x}_2}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(pa-pb)(pa-pc)}{x_2-pa}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(pb-pc)(pb-pa)}{x_2-pb}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{x_2-pc}]\frac{v}{(x_2-pa)(x_2-pb)(x_2-pc)}=0\end{array}$$より回転・拡大によるRiemannのP関数は次のように変換されるのだ。$$P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\to P\left\{\begin{array}{ccc}pa& pb& pc\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}$$
3. 反転の場合：$x_3=\frac{1}{x}$とすると次のように書けるのだ。$v\left(x_3\right)=u\left(\frac{1}{x_3}\right),\frac{d}{dx}=-x_3^2\frac{d}{d{x}_3},\frac{d^2}{d{x}^2}=x_3^4\frac{d^2}{d{x}_3^2}+2x_3^3\frac{d}{d{x}_3}$この事を用いるとRiemannのP微分方程式は下記のように変換されることが分かるのだ。$$\begin{array}{rcl}& & x_3^4\frac{d^{2}v}{d{x}_3^2}+2x_3^3\frac{dv}{d{x}_3}-x_3^2[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{\frac{1}{x_3}-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{\frac{1}{x_3}-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{\frac{1}{x_3}-c}]\frac{dv}{d{x}_3}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(a-b)(a-c)}{\frac{1}{x_3}-a}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(b-c)(b-a)}{\frac{1}{x_3}-b}+\frac{\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}(c-a)(c-b)}{\frac{1}{x_3}-c}]\frac{v}{(\frac{1}{x_3}-a)(\frac{1}{x_3}-b)(\frac{1}{x_3}-c)}=0\\ & & x_3\frac{d^{2}v}{d{x}_3^2}+[2-\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{1-a{x}_3}-\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{1-b{x}_3}-\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{1-c{x}_3}]\frac{dv}{d{x}_3}+[\frac{\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }}(a-b)(a-c)}{1-a{x}_3}+\frac{\beta {\beta }^{{}^{\prime }}(b-c)(b-a)}{1-b{x}_3}+\frac{\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}(c-a)(c-b)}{1-c{x}_3}]\frac{x_{3}v}{(1-a{x}_3)(1-b{x}_3)(1-c{x}_3)}=0\end{array}$$ここで$A=1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }},B=1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }},C=1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }},D=\alpha {\alpha }^{{}^{\prime }},E=\beta {\beta }^{{}^{\prime }},F=\gamma {\gamma }^{{}^{\prime }}$とおくと次のように書けるのだ。$$\begin{array}{rcl}& & A+B+C=2\\ & & x_3\frac{d^{2}v}{d{x}_3^2}+[A+B+C-\frac{A}{1-a{x}_3}-\frac{B}{1-b{x}_3}-\frac{C}{1-c{x}_3}]\frac{dv}{d{x}_3}+[\frac{D(a-b)(a-c)}{1-a{x}_3}+\frac{E(b-c)(b-a)}{1-b{x}_3}+\frac{F(c-1)(c-b)}{1-c{x}_3}]\frac{x_{3}v}{(1-a{x}_3)(1-b{x}_3)(1-c{x}_3)}\\ & & =x_3\frac{d^{2}v}{d{x}_3^2}-x_3[\frac{aA}{1-a{x}_3}+\frac{bB}{1-b{x}_3}+\frac{cC}{1-c{x}_3}]\frac{dv}{d{x}_3}+[\frac{D(a-b)(a-c)}{1-a{x}_3}+\frac{E(b-c)(b-a)}{1-b{x}_3}+\frac{F(c-1)(c-b)}{1-c{x}_3}]\frac{x_{3}v}{(1-a{x}_3)(1-b{x}_3)(1-c{x}_3)}\\ & & =0\\ & & \frac{d^{2}v}{d{x}_3^2}+[\frac{A}{x_3-\frac{1}{a}}+\frac{B}{x_3-\frac{1}{b}}+\frac{C}{x_3-\frac{1}{c}}]\frac{dv}{d{x}_3}+[\frac{D(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})}{x_3-\frac{1}{a}}+\frac{E(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})}{x_3-\frac{1}{b}}+\frac{F(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})(\frac{1}{c}-\frac{1}{b})}{x_3-\frac{1}{c}}]\frac{v}{(x_3-\frac{1}{a})(x_3-\frac{1}{b})(x_3-\frac{1}{c})}\\ & & =0\end{array}$$
   この計算より、反転によってRiemannのP関数は下記のように変形されることが示されたのだ。$$P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\to P\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{a}& \frac{1}{b}& \frac{1}{c}\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}$$
4. まとめると、$x^{{}^{\prime }}=\frac{rx+s}{px+q}$なる変換についてRiemannのP関数は下記のようになるのだ。$$\begin{array}{rcl}P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}& \to & P\left\{\begin{array}{ccc}a+\frac{q}{p}& b+\frac{q}{p}& c+\frac{q}{p}\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\\ & \to & P\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{a+\frac{q}{p}}& \frac{1}{b+\frac{q}{p}}& \frac{1}{c+\frac{q}{p}}\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\\ & \to & P\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{a+\frac{q}{p}}& \frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{b+\frac{q}{p}}& \frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{c+\frac{q}{p}}\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\\ & \to & P\left\{\begin{array}{ccc}\frac{r}{p}+\frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{a+\frac{q}{p}}& \frac{r}{p}+\frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{b+\frac{q}{p}}& \frac{r}{p}+\frac{\frac{1}{p}(s-\frac{qr}{p})}{c+\frac{q}{p}}\\ \alpha & \beta & \gamma & \frac{rx+s}{px+q}\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\end{array}$$よって、$x^{{}^{\prime }}=T\left(x\right)=\frac{rx+s}{px+q}$とすれば下記のように変換されたことが分かったのだ。$$P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}\to P\left\{\begin{array}{ccc}T\left(a\right)& T\left(b\right)& T\left(c\right)\\ \alpha & \beta & \gamma & T\left(x\right)\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}$$

$${\left(\frac{x-a}{x-b}\right)}^{\mu }{\left(\frac{x-c}{x-b}\right)}^{\nu }P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha & \beta & \gamma & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}& {\beta }^{{}^{\prime }}& {\gamma }^{{}^{\prime }}\end{array}\right\}=P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha +\mu & \beta -\mu -\nu & \gamma +\nu & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu & {\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu & {\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu \end{array}\right\}$$
が成り立つ。
実際、$x=a$での近傍の解で特性指数$\alpha$の解を$u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-a)}^{n+\alpha }$とおくのだ。また$v={\left(\frac{x-a}{x-b}\right)}^{\mu }{\left(\frac{x-c}{x-b}\right)}^{\nu }u$と書くのだ。
$$\begin{array}{rcl}v& =& {\left(\frac{x-a}{x-b}\right)}^{\mu }{\left(\frac{x-c}{x-b}\right)}^{\nu }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-a)}^{n+\alpha }\\ & =& \frac{{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-a)}^{n+\alpha +\mu }\end{array}$$
また次の様に書けるのだ。
$$\begin{array}{rcl}\frac{{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}& =& \frac{{(a-c)}^{\nu }}{{(a-b)}^{\mu +\nu }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\nu \\ m\end{array}\right){(x-a)}^m\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{(x-a)}^n\\ & =& \frac{{(a-c)}^{\nu }}{{(a-b)}^{\mu +\nu }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(x-a)}^m\sum _{n=0}^m{(-1)}^n\left(\begin{array}{c}\nu \\ m-n\end{array}\right)\end{array}$$このことから、$v$がRiemannのP微分方程式とすれば、$x=a$の近傍で、特性指数$\alpha +\mu$の解であることが分かるのだ。
同様にして、$v$がRiemannのP微分方程式であるとすれば
$$v=P\left\{\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \alpha +\mu & \beta -\mu -\nu & \gamma +\nu & x\\ {\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu & {\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu & {\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu \end{array}\right\}$$
また$v$は次のRiemannのP微分方程式を満たすことを示すのだ。
$$\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}-2\mu }{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}+2(\mu +\nu )}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}-2\nu }{x-c}]\frac{dv}{dx}+[\frac{(\alpha +\mu )({\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu )(a-b)(a-c)}{x-a}+\frac{(\beta -\mu -\nu )({\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu )(b-c)(b-1)}{x-b}+\frac{(\gamma +\nu )({\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu )(c-a)(c-b)}{x-c}]\frac{v}{(x-a)(x-b)(x-c)}=0$$
これを満たすことを確認するために下記の事実を用いるのだ。
$$\begin{array}{rcl}\frac{dv}{dx}& =& \frac{d}{dx}\left(\frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}u\right)\\ & =& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{du}{dx}+(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u)\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{d^{2}v}{d{x}^2}& =& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})\frac{du}{dx})\\ & +& \mu \frac{{(x-a)}^{\mu -1}{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{du}{dx}+(\frac{\mu -1}{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u)\\ & -& (\mu +\nu )\frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu +1}}(\frac{du}{dx}+(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu +1}{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u)\\ & +& \nu \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu -1}}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{du}{dx}+(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu -1}{x-c})u)\\ & =& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}\frac{d^{2}u}{d{x}^2}\\ & +& 2\frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})\frac{du}{dx}\\ & +& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{\mu (\mu -1)}{{(x-a)}^2}-\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}+\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}-\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}+\frac{(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)}{{(x-b)}^2}-\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}+\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}-\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}+\frac{\nu (\nu -1)}{{(x-c)}^2})u\\ & =& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}\frac{d^{2}u}{d{x}^2}\\ & +& 2\frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})\frac{du}{dx}\\ & +& \frac{{(x-a)}^{\mu }{(x-c)}^{\nu }}{{(x-b)}^{\mu +\nu }}(\frac{\mu (\mu -1)}{{(x-a)}^2}+\frac{(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)}{{(x-b)}^2}+\frac{\nu (\nu -1)}{{(x-c)}^2}-2(\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}-\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}+\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}))u\end{array}$$
これらの事実を用いてRiemannのP微分方程式に代入すると下記の様になるのだ。
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{d^{2}u}{d{x}^2}\\ & & +2(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})\frac{du}{dx}\\ & & +(\frac{\mu (\mu -1)}{{(x-a)}^2}+\frac{(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)}{{(x-b)}^2}+\frac{\nu (\nu -1)}{{(x-c)}^2}-2(\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}-\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}+\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}))u\\ & & +[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}-2\mu }{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}+2(\mu +\nu )}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}-2\nu }{x-c}]\\ & & \times (\frac{du}{dx}+(\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u)\\ & & +[\frac{(\alpha +\mu )({\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu )(a-b)(a-c)}{x-a}+\frac{(\beta -\mu -\nu )({\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu )(b-c)(b-1)}{x-b}+\frac{(\gamma +\nu )({\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu )(c-a)(c-b)}{x-c}]\frac{u}{(x-a)(x-b)(x-c)}\\ & & =\frac{d^{2}u}{d{x}^2}\\ & & +[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}}{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}}{x-c}]\frac{du}{dx}\\ & & +(\frac{\mu (\mu -1)}{{(x-a)}^2}+\frac{(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)}{{(x-b)}^2}+\frac{\nu (\nu -1)}{{(x-c)}^2}-2(\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}-\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}+\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}))u\\ & & +[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}-2\mu }{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}+2(\mu +\nu )}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}-2\nu }{x-c}](\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u\\ & & +[\frac{(\alpha +\mu )({\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu )(a-b)(a-c)}{x-a}+\frac{(\beta -\mu -\nu )({\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu )(b-c)(b-1)}{x-b}+\frac{(\gamma +\nu )({\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu )(c-a)(c-b)}{x-c}]\frac{u}{(x-a)(x-b)(x-c)}\end{array}$$
よって次の事を示せばよいのだ。
$$\begin{array}{rcl}& & (\frac{\mu (\mu -1)}{{(x-a)}^2}+\frac{(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)}{{(x-b)}^2}+\frac{\nu (\nu -1)}{{(x-c)}^2}-2(\frac{\mu (\mu +\nu )}{(x-a)(x-b)}-\frac{\mu \nu }{(x-a)(x-c)}+\frac{\nu (\mu +\nu )}{(x-b)(x-c)}))u\\ & & +[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}-2\mu }{x-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}+2(\mu +\nu )}{x-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}-2\nu }{x-c}](\frac{\mu }{x-a}-\frac{\mu +\nu }{x-b}+\frac{\nu }{x-c})u\\ & & +[\frac{\mu (\alpha +{\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu )(a-b)(a-c)}{x-a}+\frac{-(\mu +\nu )(\beta +{\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu )(b-c)(b-a)}{x-b}+\frac{\nu (\gamma +{\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu )(c-a)(c-b)}{x-c}]\frac{u}{(x-a)(x-b)(x-c)}\\ & & =0\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}& & \mu (\mu -1){(x-b)}^2{(x-c)}^2\\ & & +(\mu +\nu )(\mu +\nu +1){(x-a)}^2{(x-c)}^2\\ & & +\nu (\nu -1){(x-a)}^2{(x-b)}^2\\ & & -2(\mu (\mu +\nu )(x-c)-\mu \nu (x-b)+\nu (\mu +\nu )(x-a))(x-a)(x-b)(x-c)\\ & & +((1-\alpha -{\alpha }^{{}^{\prime }}-2\mu )(x-b)(x-c)+(1-\beta -{\beta }^{{}^{\prime }}+2\mu +2\nu )(x-a)(x-c)+(1-\gamma -{\gamma }^{{}^{\prime }}-2\nu )(x-a)(x-b))\\ & & \times ((\mu a-(\mu +\nu )b+\nu c)x+\mu bc-(\mu +\nu )ca+\nu ab)\\ & & +\mu (\alpha +{\alpha }^{{}^{\prime }}+\mu )(a-b)(a-c)(x-b)(x-c)\\ & & -(\mu +\nu )(\beta +{\beta }^{{}^{\prime }}-\mu -\nu )(b-c)(b-a)(x-a)(x-c)\\ & & +\nu (\gamma +{\gamma }^{{}^{\prime }}+\nu )(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)\\ & & =0\end{array}$$
白状するとこれを手計算で行うのはあきらめたのだ(´;ω;｀)。
ただ、どうやってこの式が成り立つかを確認したかは伝えておくのだ。それは下記の様なのだ。

1. pythonによるコーディング：from sympy import symbols, expand, collect

# 定数と変数の定義
x, a, b, c, mu, nu = symbols('x a b c mu nu')
alpha, alpha, beta, beta, gamma, gamma_ = symbols('alpha alpha_ beta beta_ gamma gamma')

# 与えられた式
expr = (mu(mu-1)(x-b)2*(x-c)2
        + (mu+nu)(mu+nu+1)(x-a)2*(x-c)2
        + nu(nu-1)(x-a)2*(x-b)2
        - 2(mu(mu+nu)(x-c) - munu(x-b) + nu(mu+nu)(x-a))(x-a)(x-b)(x-c)
        + ((1-alpha-alpha - 2mu)(x-b)(x-c)
           + (1-beta-beta_ + 2mu + 2nu)(x-a)(x-c)
           + (1-gamma-gamma_ - 2nu)(x-a)(x-b))
        * ((mua - (mu+nu)b + nuc)x + mubc - (mu+nu)ca + nuab)
        + mu(alpha + alpha_ + mu)(a-b)(a-c)(x-b)(x-c)
        - (mu+nu)(beta + beta_ - mu - nu)(b-c)(b-a)(x-a)(x-c)
        + nu(gamma + gamma_ + nu)(c-a)(c-b)(x-a)*(x-b))

# 展開と整理
expanded_expr = expand(expr)

# xの多項式として整理
polynomial = collect(expanded_expr, x)

print(polynomial)
2. 出力された結果をchatgptに入力して整形
3. $\alpha +{\alpha }^{{}^{\prime }}+\beta +{\beta }^{{}^{\prime }}+\gamma +{\gamma }^{{}^{\prime }}=1$であることを用いてなんやかんやするのだ！