「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、その他のさまざまな例の練習問題その4

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、その他のさまざまな例の練習問題その4

問題

解答

(3,3,3)を相手に渡せば勝てるか？
例えば(3,6,4)を作り、相手が
(3,2,4)を作ると、(3,2,1)を作れる。
相手が
(3,1,4)を作ると、こちらは
(3,1,2)を作る。
しかし、
相手が
(3,4,4)を作る場合はどうか。
どうしようもない。
(3,6,4)を作る戦略は失敗だ。
これを一般化すると（必要ないかもしれないが）
(3,n,4)を作ると負ける。
(3,n,5)を作ると、(3,5,5)を作ってくる。
ところが、$3$を$1$にする戦略がある。
(3,5,5)を(1,5,5)にしたらどうなるか？
(1,3,3)は
(1,1,3)にすると相手が(1,1,1)にする。
(1,2,3)にすると(1,2,2)にしてきて、勝てない。
つまり、先手は(1,3,3)を避ける必要がある。
(1,3,4)や(1,3,5)であれば、(1,3,1)にしたら勝ちである。
(1,4,4)が来たら、(1,2,4)にするのは相手に(1,2,2)にされ、(1,1,4)は話にならないのでどうしようもない。
つまり、
(1,4,n)にすると相手に(1,4,4)を作られ、敗北する。
つまり、どん詰まりの
(3,5,5)を(1,5,5)にすれば、
相手は(1,4,5)にはできない。
(1,3,5)はこちらが(1,3,1)にすれば勝てるし、(1,2,5)にしてきても、(1,2,2)にして渡せばいい。
つまり、相手は(2,6,10)か(1,6,10)を初めに作る必要がある。
板チョコを1次元にすると貰った方の必勝なので、相手は(2,6,10)を作ってくる。
(2,3,3)は(1,3,3)にすれば勝ち。
(2,4,3)は(2,1,3)にすれば……(2,1,2)を作られて負ける。
(2,4,1)も(2,2,1)にされる。
(2,2,3)も(2,2,1)にされる。
(2,3,3)は(1,3,3)にされる。
(2,4,3)を相手に作られてはいけない。(2,4,2)はこちらから(2,1,2)にできるので勝ち。
(2,n,4)は(2,4,3)にできる。
(2,n,5)が渡された場合、どうすればいいか？
(2,n,3)にすると(2,1,3)にできない。(2,2,3)は(2,1,3)にされる。
(2,3,3)は(1,3,3)にされる。
しかし、(2,4,3)にできる。従って
(2,n,5)を(2,n,3)$(n\geqq 3)$にしてはいけない。
こちらが(1,n,3)にしても負けてしまう。
また
(2,3,5)、(2,4,5)にするとそれぞれ(2,3,4)、(2,4,3)にされるのでそれもいけない。相手に(2,5,5)を渡せば、(1,5,5)にされない限り勝てることが分かる。しかし、これは上手くない。(2,5,5)を渡してはいけない。
(2,6,5)は、(1,6,5)、(2,n,3)、(2,1,n)、(2,2,n)を相手に渡してはいけないので、(2,4,6)か、(2,4,5)にしかできない。
(2,3,3)、(2,3,2)は渡してはいけない。
相手は(2,4,3)にしてくる。負け。
つまり、(2,6,5)を渡されると負けてしまう。
(2,6,6)なら勝ち。
先手が(2,6,10)にしてきても、(2,6,6)にして後手が勝つ。
してこなくても後手の勝ちである。
Q. E. D.
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