一般超幾何関数のWronskian

今回は, 一般超幾何微分方程式の解のWronskianを求めたいと思う. そのために, 以下を用いる.

証明については 子葉さんの記事 を参照.

以下, 一般超幾何微分方程式
\begin{align} ((\theta+b_1-1)\dots(\theta+b_{r+1}-1)-x(\theta+a_1)\cdots(\theta+a_{r+1}))y(x)=0\qquad \theta:=x\frac{d}{dx} \end{align}
の解
\begin{align} f_j(x)&:=x^{1-b_j}\F{r+1}r{1+a_1-b_j,\dots,1+a_{r+1}-b_j}{1+b_1-b_j,\dots,1+b_{j-1}-b_j,1+b_{j+1}-b_j,\dots,1+b_{r+1}-b_j}{x}\\ &\qquad(j=1,2,\dots,r+1\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
のWronskianを求めようと思う. まず,
\begin{align} \theta^n=x^n\left(\frac{d}{dx}\right)^n+\binom n2x^{n-1}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}+\cdots \end{align}
となることが$n$に関する帰納法によって分かる. よって,
\begin{align} &(\theta+b_1-1)\dots(\theta+b_{r+1}-1)-x(\theta+a_1)\cdots(\theta+a_{r+1})\\ &=(1-x)\theta^{r+1}+(b_1+\cdots+b_{r}-r-x(a_1+\cdots+a_{r+1}))\theta^r+\cdots\\ &=(1-x)x^{r+1}\left(\frac{d}{dx}\right)^{r+1}+\binom{r+1}2(1-x)x^r\left(\frac{d}{dx}\right)^r+(b_1+\cdots+b_{r}-r-x(a_1+\cdots+a_{r+1}))x^r\left(\frac{d}{dx}\right)^r+\cdots\\ &=(1-x)x^{r+1}\left(\frac{d}{dx}\right)^{r+1}+\left(b_1+\cdots+b_{r}+\binom r2-x\left(a_1+\cdots+a_{r+1}+\binom{r+1}2\right)\right)x^r\left(\frac{d}{dx}\right)^r+\cdots\\ &=(1-x)x^{r+1}\left(\left(\frac{d}{dx}\right)^{r+1}+\frac{b_1+\cdots+b_{r}+\binom r2-x\left(a_1+\cdots+a_{r+1}+\binom{r+1}2\right)}{x(1-x)}\left(\frac{d}{dx}\right)^r+\cdots\right) \end{align}
と変形できることから, 定理1を用いて, $f_1(x),\dots,f_{r+1}(x)$のWronskianは
\begin{align} W(x)&=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^x\frac{b_1+\cdots+b_r+\binom r2-t\left(a_1+\cdots+a_{r+1}+\binom{r+1}2\right)}{t(1-t)}\,dt\right)\\ &=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^x\left(\frac{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}{t}+\frac{b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-r}{1-t}\right)\,dt\right)\\ &=W(x_0)\exp\left(-\left(b_1+\cdots+b_r+\binom r2\right)\ln\frac{x}{x_0}+\left(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-r\right)\ln\frac{1-x}{1-x_0}\right)\\ &=\frac{C}{x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}(1-x)^{a_1+\cdots+a_{r+1}-b_1-\cdots-b_r+r}} \end{align}
と表される. ここで$C$は$x$によらない定数である. 次に, 定数$C$を求めるために$x\to 0$における挙動を考える.
\begin{align} f_j(x)=x^{1-b_j}(1+O(x)) \end{align}
であるから,
\begin{align} W(f_1,\dots,f_{r+1};x)&=W(x^{1-b_1},\dots,x^{1-b_{r+1}};x)+O(x^{-b_1-\cdots-b_r-\binom r2+1}) \end{align}
となる.　ここで, Vandermonodeの行列式を用いて
\begin{align} W(x^{1-b_1},\dots,x^{1-b_{r+1}};x)=x^{-b_1-\cdots-b_r-\binom r2}\prod_{1\leq i< j\leq r+1}(b_i-b_j) \end{align}
と計算できるので,
\begin{align} C&=\lim_{x\to 0} x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}W(f_1,\dots,f_{r+1};x)\\ &=\lim_{x\to 0} x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}W(x^{1-b_1},\dots,x^{1-b_{r+1}};x)\\ &=\prod_{1\leq i< j\leq r+1}(b_i-b_j) \end{align}
となる. まとめると以下を得る.

特に, $b_1,\dots,b_{r+1}$が全て相異なり, 全ての$f_j$が存在するならば, Wronskianは$0$でなく, 上の解が一般超幾何微分方程式の基本解を与えること分かる.

例として, ${}_2F_1$の場合
\begin{align} f_1(x)=x^{1-c}\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x},\qquad f_2(x):=\F21{a,b}c{x} \end{align}
として, Wronskianは
\begin{align} W(f_1,f_2;x)=\frac{c-1}{x^c(1-x)^{a+b-c+1}} \end{align}
で与えられることが分かる.