微分方程式・漸化式の特殊解の求め方(定数変化法)

はじめに

　この記事では非同次線形微分方程式
$$\sum^m_{k=0}p_k(t)u^{(k)}(t)=q(t)$$
や非同次線形漸化式
$$\sum^m_{k=0}p_k(n)u(n+k)=q(n)$$
の定数変化法による解き方について簡単に解説していきます。

微分方程式の場合

定数変化法

　定数変化法とは同次形の方程式
$$\sum^m_{k=0}p_k(t)u^{(k)}(t)=0\qquad(p_m(t)=1)$$
の基本解を$u_1,u_2,\ldots,u_m$とおいたとき、つまりその一般解が
$$u(t)=\sum^m_{j=1}c_ju_j(t)$$
と求まるとき、その定数$c_1,c_2,\ldots,c_m$を変化させた関数
$$u(t)=\sum^m_{j=1}c_j(t)u_j(t)$$
を考えることで非同次形の方程式
$$\sum^m_{k=0}p_k(t)u^{(k)}(t)=q(t)$$
を解こう、という手法のことを言います。
　特にその係数$c_1,c_2,\ldots,c_m$の条件として
\begin{align} u'(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u'_j(t)\\ u''(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u''_j(t)\\ &\ \ \vdots\\ u^{(m-1)}(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u^{(m-1)}_j(t)\\ u^{(m)}(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u^{(m)}_j(t)+q(t) \end{align}
という特徴付けを考えるのが定数変化法のもう一つ特徴となります(これが成り立つとき$u(t)$は明らかに件の微分方程式を満たすことに注意しましょう)。

係数の求め方

　いま
\begin{align} u^{(k)}(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u^{(k)}_j(t)\\ \Rightarrow u^{(k+1)}(t)&=\sum^m_{j=1}c_j(t)u^{(k+1)}_j(t)+\sum^m_{j=1}c'_j(t)u^{(k)}_j(t) \end{align}
が成り立つことに注意すると、上の条件は$c'_1,c'_2,\ldots,c'_m$についての線型方程式
\begin{align} 0&=\sum^m_{j=1}c'_j(t)u_j(t)\\ 0&=\sum^m_{j=1}c'_j(t)u'_j(t)\\ &\ \ \vdots\\ 0&=\sum^m_{j=1}c'_j(t)u^{(m-2)}_j(t)\\ q(t)&=\sum^m_{j=1}c'_j(t)u^{(m-1)}_j(t) \end{align}
に言い換えることができ、クラメルの公式からこれは次のように解くことができます。

　以下ロンスキー行列の$(m,j)$余因子を
$$W_j =(-1)^{m+j}\begin{vmatrix} u_1(t)&\cdots&u_{j-1}(t)&u_{j+1}(t)&\cdots&u_m(t)\\ u'_1(t)&\cdots&u'_{j-1}(t)&u'_{j+1}(t)&\cdots&u'_m(t)\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u^{(m-2)}_1(t)&\cdots&u^{(m-2)}_{j-1}(t)&u^{(m-2)}_{j+1}(t)&\cdots&u^{(m-2)}_m(t) \end{vmatrix}$$
とおきます。

ロンスキアンの求め方

　なおロンスキアンは次のような表示を持つことに注意しましょう。

　また定数係数の微分方程式に関するロンスキアンの特殊値$W(0)$を求める際は 合流型ヴァンデルモンド行列式 の公式が使えることを覚えておくと便利かもしれません。

例

漸化式の場合

定数変化法

　また定数変化法の考え方は漸化式の場合にも応用することができます。
　つまり同次形の漸化式
$$\sum^m_{k=0}p_k(n)u(n+k)=0\qquad(p_m(n)=1)$$
の基本解を$u_1,u_2,\ldots,u_m$とおいたとき、数列
$$u(n)=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n)$$
の係数$c_1(n),c_2(n),\ldots,c_m(n)$を
\begin{align} u(n+1)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+1)\\ u(n+2)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+2)\\ &\ \ \vdots\\ u(n+m-1)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+m-1)\\ u(n+m)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+m)+q(n)\\ \end{align}
を満たすように取ることで非同次形の漸化式
$$\sum^m_{k=0}p_k(n)u(n+k)=q(n)$$
を解くことができる、というわけです。

係数の求め方

　いま
\begin{align} u(n+k)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+k)\\ \Rightarrow u(n+k+1)&=\sum^m_{j=1}c_j(n)u_j(n+k+1) +\sum^m_{j=1}(c_j(n+1)-c_j(n))u_j(n+k+1) \end{align}
が成り立つことにすると、上の条件は
$$\D c_j(n)=c_j(n+1)-c_j(n)$$
についての線型方程式
\begin{align} 0&=\sum^m_{j=1}\D c_j(n)u(n+1)\\ 0&=\sum^m_{j=1}\D c_j(n)u(n+2)\\ &\ \ \vdots\\ 0&=\sum^m_{j=1}\D c_j(n)u(n+m-1)\\ q(n)&=\sum^m_{j=1}\D c_j(n)u_j(n+m) \end{align}
に言い換えることができ、これは次のように解くことができます。

　以下カゾラティ行列の$(m,j)$余因子を
$$\C_j =(-1)^{m+j}\begin{vmatrix} u_1(n)&\cdots&u_{j-1}(n)&u_{j+1}(n)&\cdots&u_m(n)\\ u_1(n+1)&\cdots&u_{j-1}(n+1)&u_{j+1}(n+1)&\cdots&u_m(n+1)\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_1(n+m-2)&\cdots&u_{j-1}(n+m-2)&u_{j+1}(n+m-2)&\cdots&u_m(n+m-2) \end{vmatrix}$$
とおきます。

カゾラティアンの求め方

　なおカゾラティアンは次のような表示を持つことに注意しましょう。

　また定数係数の漸化式に関するカゾラティアンの特殊値$\C(0)$を求める際もやはり 合流型ヴァンデルモンド行列式 の公式が使えることを覚えておくと便利かもしれません。

例

一般化

　ちなみに定数変化法は
$$\u'=A(t)\u+\bb(t)$$
という形の微分方程式や
$$\u(n+1)=A(n)\u(n)+\bb(n)$$
という形の漸化式に対しても全く同じように一般化することができます。
　以下$\u$は$m$次元ベクトル値関数であるものとします。

微分方程式の場合

　いま同次形の方程式
$$\u'=A(t)\u$$
の基本解を$\u_1,\u_2,\ldots,\u_m$とおいたとき
$$\u(t)=\sum^m_{j=1}c_j(t)\u_j(t)$$
の係数$c_1(t),c_2(t),\ldots,c_m(t)$を
$$\u'(t)=\sum^m_{j=1}c_j(t)\u'_j(t)+\bb(t)$$
を満たすように取ることで、非同次形の方程式
$$\u'=A(t)\u+\bb(t)$$
を解くことができます。
　このとき
$$\u'(t)=\sum^m_{j=1}c_j(t)\u'_j(t)+\sum^m_{j=1}c'_j(t)\u_j(t)$$
に注意すると
$$\c(t)=\begin{pmatrix} c_1(t)&c_2(t)&\cdots&c_m(t) \end{pmatrix}^T$$
は次のように決定することができます。

余談

　なお定数変化法という回り道をしなくても$\W(t)$が$\W'=A(t)\W$を満たすこと、特に
$$0=(\W\W^{-1})'=\W'\W^{-1}+\W(\W^{-1})'$$
より
$$(\W^{-1})'=-\W^{-1}A(t)$$
が成り立つことを利用すれば件の微分方程式は
$$\W^{-1}(\u'-A(t)\u)=(\W^{-1}\u)'=\W^{-1}\bb(t)$$
と変形できるので、これによって
$$\u=\W(t)\int\W(t)^{-1}\bb(t)dt$$
と解けることがわかります。

$\det\W$の求め方

　またこの行列$\W(t)$の行列式$W(t)$は次のような表示を持つことに注意しましょう。

漸化式の場合

　漸化式の場合も同様なので結果だけ書いておきましょう。