合流型Vandermonde行列式
はじめに
この記事ではVandermonde行列式
$$\begin{vmatrix}
1&x&x^2\\
1&y&y^2\\
1&z&z^2
\end{vmatrix}=(z-x)(z-y)(y-x)$$
の一般化として合流型Vandermonde行列式と呼ばれる
$$\begin{vmatrix}
1&x&x^2&x^3&x^4&x^5\\
1&y&y^2&y^3&y^4&y^5\\
0&1&2y&3y^2&4y^3&5y^4\\
1&z&z^2&z^3&z^4&z^5\\
0&1&2z&3z^2&4z^3&5z^4\\
0&0&1&3z&6z^2&10z^3
\end{vmatrix}=(z-x)^3(z-y)^6(y-x)^2$$
という形の行列式について簡単に解説していきます。
導入
Vandermonde行列式
いま$n-1$次以下の多項式
$$f(x)=\sum^{n-1}_{j=0}a_jx^j$$
に対し、$n$個の点における値
$$f(x_i)\quad(i=1,2,3,\ldots,n)$$
が与えられたとき、$f(x)$の係数を決定する方程式
$$\begin{pmatrix}
1&x_1&x_1^2&\cdots&x^{n-1}_1\\
1&x_2&x_2^2&\cdots&x^{n-1}_2\\
1&x_3&x_3^2&\cdots&x^{n-1}_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_n&x_n^2&\cdots&x^{n-1}_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\\a_{n-1}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}f(x_1)\\f(x_2)\\f(x_3)\\\vdots\\f(x_n)\end{pmatrix}$$
に現れる行列
$$V=\begin{pmatrix}
1&x_1&x_1^2&\cdots&x^{n-1}_1\\
1&x_2&x_2^2&\cdots&x^{n-1}_2\\
1&x_3&x_3^2&\cdots&x^{n-1}_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_n&x_n^2&\cdots&x^{n-1}_n\\
\end{pmatrix}$$
のことをVandermonde行列というのでした。
合流型Vandermonde行列式
そしてその一般化として、いくつかの点における導関数の値
$$\frac{f^{(k)}(x_i)}{k!}=\sum^{n-1}_{j=0}a_j\binom jkx^{j-k}_i
\quad(1\leq i\leq m,\ 0\leq k< l_i)$$
が与えられた際の方程式に現れる行列$V$、具体的には$l\times n$行列
\begin{align}
U_n(x,l)
&=\l(\binom{j-1}{i-1}x^{j-i}\r)_{1\leq i\leq l,\ 1\leq j\leq n}\\
&=\begin{pmatrix}
1&x&x^2&\cdots&x^{n-1}\\
0&1&2x&\cdots&(n-1)x^{n-2}\\
0&0&1&\cdots&\frac{(n-1)(n-2)}2x^{n-3}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-l+1)}{(l-1)!}x^{n-l}
\end{pmatrix}
\end{align}
を縦に並べた行列
$$V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}
=\begin{pmatrix}
U_n(x_1,l_1)\\U_n(x_2,l_2)\\\vdots\\U_n(x_m,l_m)
\end{pmatrix}\qquad\l(n=\sum^m_{i=1}l_i\r)$$
のことを合流型Vandermonde行列(confluent Vandermonde matrix)と言います。
例えば冒頭の行列は
$$V\begin{bmatrix}
x&y&z\\
1&2&3
\end{bmatrix}
=\begin{pmatrix}
1&x&x^2&x^3&x^4&x^5\\
1&y&y^2&y^3&y^4&y^5\\
0&1&2y&3y^2&4y^3&5y^4\\
1&z&z^2&z^3&z^4&z^5\\
0&1&2z&3z^2&4z^3&5z^4\\
0&0&1&3z&6z^2&10z^3
\end{pmatrix}$$
の場合となっている。
合流型Vandermonde行列式
そしてこの行列式は次のように求められることが知られています。
$$\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}
=\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j}$$
が成り立つ。
これは通常のVandermonde行列式
$$\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_m\\
1&1&\cdots&1
\end{bmatrix}=\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)$$
を起点とし
\begin{align}
&\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_k&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_k+1&\cdots&l_m
\end{bmatrix}\\
={}&\frac1{l_k!}\frac{d^{l_k}}{dy^{l_k}}
\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_k&y&x_{k+1}&\cdots&x_m&y\\
l_1&l_2&\cdots&l_k&1&l_{k+1}&\cdots&l_m&1
\end{bmatrix}\Bigg|_{y=x_k}
\end{align}
という等式(証明略)を用いて逐次計算していくことで示すことができます。
$n$を固定し$m$に関する数学的帰納法によって示す。
$m=n$のときは通常のVandermonde行列式なので省略。
いま$\sum^{m+1}_{i=1}l_i=n$を満たすような任意の正整数$l'_1,l'_2,\ldots,l'_{m+1}$に対し
$$\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_{m+1}\\
l'_1&l'_2&\cdots&l'_{m+1}
\end{bmatrix}
=\prod_{1\leq i< j\leq m+1}(x_j-x_i)^{l'_il'_j}$$
が成り立つとする。
このとき$\sum^m_{i=1}l_i=n$を満たすような正整数$l_1,l_2,\ldots,l_m$に対し、$l_k\geq2$なる$k$を取り
\begin{align}
f(y)
=\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_k&y&x_{k+1}&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_k-1&1&l_{k+1}&\cdots&l_m
\end{bmatrix}
\end{align}
とおく。このとき
$$l'_i=\l\{\begin{array}{ll}
l_i&(i\neq k)\\
l_k-1&(i=k)
\end{array}\r.$$
とおくと仮定より
\begin{align}
f(y)
&=(y-x_k)^{l_k-1}\prod_{1\leq i< k}(y-x_i)^{l_i}
\prod_{k< j\leq m}(x_j-y)^{l_j}\times
\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l'_il'_j}\\
&=(y-x_k)^{l_k-1}\prod_{1\leq i< k}\l(\frac{y-x_i}{x_k-x_i}\r)^{l_i}
\prod_{k< j\leq m}\l(\frac{x_j-y}{x_j-x_k}\r)^{l_j}\times
\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j}\\
\end{align}
が成り立つので
\begin{align}
&\det V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}\\
={}&\frac1{(l_k-1)!}\frac{d^{l_k-1}}{dy^{l_k-1}}f(y)\Bigg|_{y=x_k}\\
={}&\frac{(l_k-1)!}{(l_k-1)!}\prod_{1\leq i< k}\l(\frac{y-x_i}{x_k-x_i}\r)^{l_i}
\prod_{k< j\leq m}\l(\frac{x_j-y}{x_j-x_k}\r)^{l_j}\times
\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j}\Bigg|_{y=x_k}\\
={}&\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j}
\end{align}
を得る。
\begin{align} \det V\begin{bmatrix} x&y\\ 2&2 \end{bmatrix} &=\begin{vmatrix} 1&x&x^2&x^3\\ 0&1&2x&3x^2\\ 1&y&y^2&y^3\\ 0&1&2y&3y^2 \end{vmatrix}\\ &=(x-y)^4\\\\ \det V\begin{bmatrix} x&y&z\\ 1&2&3 \end{bmatrix} &=\begin{vmatrix} 1&x&x^2&x^3&x^4&x^5\\ 1&y&y^2&y^3&y^4&y^5\\ 0&1&2y&3y^2&4y^3&5y^4\\ 1&z&z^2&z^3&z^4&z^5\\ 0&1&2z&3z^2&4z^3&5z^4\\ 0&0&1&3z&6z^2&10z^3 \end{vmatrix}\\ &=(z-x)^3(z-y)^6(y-x)^2 \end{align}
おまけ1：類似の行列式について
ちなみにこの類似として
\begin{align}
U'_n(x,l)
&=\l((j-1)^{i-1}x^{j-1}\r)_{1\leq i\leq l,\ 1\leq j\leq n}\\
&=\begin{pmatrix}
1&x&x^2&\cdots&x^{n-1}\\
0&x&2x^2&\cdots&(n-1)x^{n-1}\\
0&x&4x^2&\cdots&(n-1)^2x^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&x&2^{l-1}x^2&\cdots&(n-1)^{l-1}x^{n-1}
\end{pmatrix}
\end{align}
を縦に並べた行列
$$V'\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}
=\begin{pmatrix}
U'_n(x_1,l_1)\\U'_n(x_2,l_2)\\\vdots\\U'_n(x_m,l_m)
\end{pmatrix}$$
の行列式は次のように求まります(証明は$\det V$に行基本変形を施すだけなので省略)。
\begin{align} \det V'\begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_m\\ l_1&l_2&\cdots&l_m \end{bmatrix} &=\l(\prod^m_{i=1}\prod^{l_i}_{j=1}(j-1)!x_i^{j-1}\r) \det V\begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_m\\ l_1&l_2&\cdots&l_m \end{bmatrix}\\ &=\l(\prod^m_{i=1}\l(\prod^{l_i-1}_{j=1}j!\r)x_i^{l_i(l_i-1)/2}\r)\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j} \end{align}
\begin{align} \det V'\begin{bmatrix} x&y\\ 2&2 \end{bmatrix} &=\begin{vmatrix} 1&x&x^2&x^3\\ 0&x&2x^2&3x^3\\ 1&y&y^2&y^3\\ 0&y&2y^2&3y^3 \end{vmatrix}\\ &=xy(x-y)^4\\\\ \det V'\begin{bmatrix} x&y&z\\ 1&2&3 \end{bmatrix} &=\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 & x^5\\ 1 & y & y^2 & y^3 & y^4 & y^5\\ 0 & y & 2y^2 & 3y^3 & 4y^4 & 5y^5\\ 1 & z & z^2 & z^3 & z^4 & z^5\\ 0 & z & 2z^2 & 3z^3 & 4z^4 & 5z^5\\ 0 & z & 4z^2 & 9z^3 & 16z^4 & 25z^5 \end{vmatrix}\\ &=2yz^3(z-x)^3(z-y)^6(y-x)^2 \end{align}
おまけ2：逆行列について
ちなみに導入において考えた多項式は次のように求めることができます。
正整数$l_1,l_2,\ldots,l_m$と相違なる$x_1,x_2,\ldots,x_m$に対し
$$P(x)=\prod^m_{i=1}(x-x_i)^{l_i},\quad P_i(x)=\frac{P(x)}{(x-x_i)^{l_i}}$$
および$n=\sum^m_{i=1}l_i$とおいたとき、任意の$n-1$次以下の多項式$f(x)$に対し
\begin{align}
f(x)&=\sum^m_{i=1}\sum^{l_i-1}_{k=0}c_{i,k}(x-x_i)^kP_i(x)\\
\bigg(c_{i,k}&=\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}\frac{f(x)}{P_i(x)}\Bigg|_{x=x_i}\bigg)
\end{align}
が成り立つ。
$P(x)$は$n$次多項式であることに注意して
$$g(x)=\frac{f(x)}{P(x)}$$
に関する部分分数分解
$$g(x)=\sum^m_{i=1}\sum^{l_i-1}_{k=0}\frac{c_{i,k}}{(x-x_i)^{l_i-k}}$$
を考えることで$f(x)$は
\begin{align}
f(x)&=\sum^m_{i=1}\sum^{l_i-1}_{k=0}c_{i,k}\frac{P(x)}{(x-x_i)^{l_i-k}}\\
&=\sum^m_{i=1}\sum^{l_i-1}_{k=0}c_{i,k}(x-x_i)^kP_i(x)
\end{align}
と表せ、またその係数$c_{i,k}$はHeavisideの展開定理より
\begin{align}
c_{i,k}
&=\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x-x_i)^{l_i}g(x)\bigg|_{x=x_i}\\
&=\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}\frac{f(x)}{P_i(x)}\bigg|_{x=x_i}
\end{align}
と求まることがわかる。
特にライプニッツ則から
$$\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}\frac{f(x)}{P_i(x)}\bigg|_{x=x_i}
=\sum^k_{s=0}\frac{f^{(s)}(x_i)}{s!}\c\frac1{(k-s)!}\frac{d^{k-s}}{dx^{k-s}}\frac1{P_i(x)}\bigg|_{x=x_i}$$
が成り立つことに注意して
$$f(x)=\sum^{n-1}_{j=0}\l(\sum^m_{i=1}\sum^{l_i-1}_{k=0}C_{i,j,k}\frac{f^{(k)}(x_i)}{k!}\r)x^j$$
と展開したとき
\begin{align}
\widetilde U_s
&=(C_{s,i-1,j-1})_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq l_s}\\
&=\begin{pmatrix}
C_{s,0,0}&C_{s,0,1}&C_{s,0,2}&\cdots&C_{s,0,l_s-1}\\
C_{s,1,0}&C_{s,1,1}&C_{s,1,2}&\cdots&C_{s,1,l_s-1}\\
C_{s,2,0}&C_{s,2,1}&C_{s,2,2}&\cdots&C_{s,2,l_s-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
C_{s,n-1,0}&C_{s,n-1,1}&C_{s,n-1,2}&\cdots&C_{s,n-1,l_s-1}
\end{pmatrix}
\end{align}
を横に並べた行列
$$\widetilde V=\begin{pmatrix}
\widetilde U_1&\widetilde U_2&\cdots&\widetilde U_m
\end{pmatrix}$$
が合流型Vandermonde行列の逆行列を与えることとなります。
ちなみに
$$(x-x_i)^{l_i-k}P_i(x)=\frac{P(x)}{(x-x_i)^k}$$
は次のように展開できることを覚えておくといいかもしれません。
$$P(x)=\sum^n_{j=0}p_jx^j$$
と展開したとき$1\leq k\leq l_i$に対し
$$\frac{P(x)}{(x-x_i)^k}
=\sum^{n-k}_{j=0}\l(\sum^{n-j}_{s=k}p_{s+j}\binom{s-1}{k-1}x_i^{s-k}\r)x^j$$
が成り立つ。
\begin{align}
\frac1{(x-x_i)^k}
&=\frac1{x^k}\frac1{(1-x_i/x)^k}\\
&=\frac1{x^k}\sum^\infty_{j=0}\binom{j+k-1}{k-1}\bigg(\frac{x_i}x\bigg)^j
\end{align}
と展開できることに注意するとわかる。
例えば$m=1,l_1=n$のとき
\begin{align}
f(x)
&=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{f^{(k)}(\a)}{k!}(x-\a)^k\\
&=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{f^{(k)}(\a)}{k!}\sum^k_{j=0}\binom kj(-\a)^{k-j}x^j\\
&=\sum^{n-1}_{j=0}\l(\sum^{n-1}_{k=j}\binom kj(-\a)^{k-j}\frac{f^{(k)}(\a)}{k!}\r)x^j
\end{align}
と展開できるので
$$V\begin{bmatrix}\a\\n\end{bmatrix}
=\l(\binom{j-1}{i-1}\a^{j-i}\r)_{1\leq i,j\leq n}$$
の逆行列は
$$V\begin{bmatrix}\a\\n\end{bmatrix}^{-1}
=\l(\binom{j-1}{i-1}(-\a)^{j-i}\r)_{1\leq i,j\leq n}
=V\begin{bmatrix}-\a\\n\end{bmatrix}$$
と求まる。
$m=n,l_1=l_2=\cdots=l_n=1$のとき
$$P(x)
=\prod^n_{i=1}(x-x_i)
=\sum^n_{j=0}p_jx^j$$
とおくと
\begin{align}
f(x)
&=\sum^n_{i=1}\frac{f(x_i)}{P_i(x_i)}P_i(x)\\
&=\sum^{n-1}_{j=1}\sum^n_{i=1}\l(\frac1{P'(x_i)}\sum^n_{s=j+1}p_sx^{s-j-1}_i\r)f(x_i)x^j
\end{align}
と展開できるので
$$V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_n\\
1&1&\cdots&1
\end{bmatrix}=(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}$$
の逆行列は
$$V\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_n\\
1&1&\cdots&1
\end{bmatrix}^{-1}
=\l(\frac{\sum^n_{s=i}p_sx_j^{s-i}}{P'(x_j)}\r)_{1\leq i,j\leq n}$$
と求まる。
おまけ3：指数関数の線形独立性
ちなみに微分方程式や漸化式の
$$(\text{多項式})\times(\text{指数関数})$$
という形の解に関するWronskianやCasoratianを考えたときにも合流型Vandermonde行列式が登場し、それによってこのような形の関数族の線形独立性を示すことができます。
微分方程式の場合
定数係数の線形微分方程式
いま$n$階微分方程式
$$\sum^n_{j=0}p_ju^{(j)}(t)=0\quad (p_n=1)$$
について、その特性方程式が
\begin{align}
\sum^n_{j=0}p_jx^j
&=(x-\a_1)^{l_1}(x-\a_2)^{l_2}\cdots(x-\a_m)^{l_m}\\
&=0
\end{align}
と解けるとき、上の微分方程式は
$$u_{i,j}(t)=\frac{t^j}{j!}\c e^{\a_i t}\quad(1\leq i\leq m,\ 0\leq j< l_i)$$
という$n$個の解を持つことが知られている。
Wronski行列
またこれらのWronski行列、つまり
$$W_s(t)=\l(u^{(i-1)}_{s,j-1}(t)\r)_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq l_s}$$
を横に並べた行列
$$W(t)
=\begin{pmatrix}
W_1(t)&W_2(t)&\cdots&W_m(t)
\end{pmatrix}$$
を考えたとき、$u_{i,j}$の取り方から$W(t)$は
$$W'(t)=AW(t)\qquad
(A=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
-p_0&-p_1&-p_2&\cdots&-p_{n-1}\\
\end{pmatrix})$$
という微分方程式を満たす。特にこれは
$$W(t)=\exp(At)W(0)$$
と解けるため
$$\det(\exp(At))=e^{\tr(A)t}\neq0$$
に注意すると
$$\{u_{i,j}(t)\}_{i,j}\ \text{が線形独立}\iff\det W(t)\neq0\iff\det W(0)\neq0$$
が成り立つ。
Wronskianの計算
そして
$$u^{(i)}_{s,j}(0)=\binom ij\a_s^{i-j}$$
が成り立つことに注意すると
$$W(0)=V\begin{bmatrix}
\a_1&\a_2&\cdots&\a_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}^T$$
と表せるので
$$\det W(0)=\prod_{1\leq i< j\leq m}(\a_j-\a_i)^{l_il_j}$$
と求まり、したがって$u_{i,j}(t)$たちは線形独立であることがわかる。
漸化式の場合
ほとんど上と同様なので少し端折って説明する。
定数係数の線形漸化式
いま$N+1$項間漸化式
$$\sum^N_{j=0}p_ju(n+j)=0\quad (p_N=1)$$
は
$$u_{i,j}(n)=n^j\c \a_i^n\quad(1\leq i\leq m,\ 0\leq j< l_i)$$
という$N$個の解を持つことが知られている。
Casorati行列
またこれに関するCasorati行列
\begin{align}
C(n)
&=\begin{pmatrix}
C_1(x)&C_2(x)&\cdots&C_m(x)
\end{pmatrix}\\
(C_s(n)&=(u_{s,j-1}(n+i-1))_{1\leq i\leq N,\ 1\leq j\leq l_s})
\end{align}
を考えると、これは
$$C(n+1)=AC(n)\qquad
(A=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
-p_0&-p_1&-p_2&\cdots&-p_{N-1}\\
\end{pmatrix})$$
という漸化式を満たす、つまり
$$C(n)=A^nC(0)$$
と表せるので($\det A\neq0$つまり$p_0\neq0$において)
$$\{u_{i,j}(n)\}_{i,j}\ \text{が線形独立}\iff\det C(n)\neq0\iff\det C(0)\neq0$$
が成り立つ。
Casoratianの計算
そして
$$u_{s,j-1}(i-1)=(i-1)^{j-1}\a_s^{i-1}$$
より$C(0)$はおまけ1で紹介した$V'$を用いて
$$C(0)
=V'\begin{bmatrix}
\a_1&\a_2&\cdots&\a_m\\
l_1&l_2&\cdots&l_m
\end{bmatrix}^T$$
と表せるので
$$\det C(0)
=\l(\prod^m_{i=1}\l(\prod^{l_i-1}_{j=1}j!\r)\a_i^{l_i(l_i-1)/2}\r)
\prod_{1\leq i< j\leq m}(\a_j-\a_i)^{l_il_j}$$
と求まり、したがって$u_{i,j}(n)$たちは線形独立であることがわかる。
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