令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 6 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問の解答

$(1)\quad$ $A$の固有多項式は
\begin{align*} |xE-A|= \begin{vmatrix} x&-1&-3\\ 0 &x &1\\ -1&0&x\\ \end{vmatrix} =(x^{3}+1)-3x =x^{3}-3x+1. \end{align*}
$(2)\quad$ $f:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}}$を
\begin{align*} f(x)\coloneqq{x^{3}-3x+1\quad (x\in\mathbb{R})} \end{align*}
で定める。
\begin{align*} f^{\prime}(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)\quad (x\in\mathbb{R}) \end{align*}
だから, $f$の増減表は以下のようになる。

$f$の増減表

そして, $f(2)=3>0$かつ, $f(-2)=-1<0$だから, $f(x)=0$を満たす任意の実数$x$に対し$-2< x<2.$すなわち
\begin{align*} -2<\lambda<2. \end{align*}

$(3)\quad$ $\lambda$を$A$の固有値とする。(2)より
\begin{align*} \lambda=2\cos{\theta} \end{align*}
となる$\theta\in(0, \pi)$が存在する。よって, $\lambda$が$A$の固有値ゆえ得られる方程式
\begin{align*} \lambda^{3}-3\lambda+1=0 \end{align*}
は
\begin{align*} 8\cos^{3}{\theta}-6\cos{\theta}+1=0 \end{align*}
と書き換えられ, 整理すると（両辺2で割ったり, 3倍角の公式を用いたりする）
\begin{align*} \cos{3\theta}=-\dfrac{1}{2} \end{align*}
である。これを$\theta\in(0, \pi)$に注意して解くと
\begin{align*} \theta=\dfrac{2}{9}\pi, \dfrac{4}{9}\pi, \dfrac{8}{9}\pi. \end{align*}
よって
\begin{align*} \lambda=2\cos{\dfrac{2}{9}\pi}, 2\cos{\dfrac{4}{9}\pi}, 2\cos{\dfrac{8}{9}\pi}. \end{align*}