令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 6 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問の解答

$(1)$ $A$の固有多項式は
$$\begin{array}{r}|xE-A|=\left|\begin{array}{ccc}x& -1& -3\\ 0& x& 1\\ -1& 0& x\end{array}\right|=(x^3+1)-3x=x^3-3x+1.\end{array}$$
$(2)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を
$$\begin{array}{r}f(x):=x^3-3x+1(x\in \mathbb{R})\end{array}$$
で定める。
$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)(x\in \mathbb{R})\end{array}$$
だから, $f$の増減表は以下のようになる。

$f$の増減表

そして, $f(2)=3>0$かつ, $f(-2)=-1<0$だから, $f(x)=0$を満たす任意の実数$x$に対し$-2<x<2.$すなわち
$$\begin{array}{r}-2<\lambda <2.\end{array}$$

$(3)$ $\lambda$を$A$の固有値とする。(2)より
$$\begin{array}{r}\lambda =2\cos \theta \end{array}$$
となる$\theta \in (0,\pi )$が存在する。よって, $\lambda$が$A$の固有値ゆえ得られる方程式
$$\begin{array}{r}{\lambda }^3-3\lambda +1=0\end{array}$$
は
$$\begin{array}{r}8{\cos }^3\theta -6\cos \theta +1=0\end{array}$$
と書き換えられ, 整理すると（両辺2で割ったり, 3倍角の公式を用いたりする）
$$\begin{array}{r}\cos 3\theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$
である。これを$\theta \in (0,\pi )$に注意して解くと
$$\begin{array}{r}\theta ={\displaystyle \frac{2}{9}}\pi ,{\displaystyle \frac{4}{9}}\pi ,{\displaystyle \frac{8}{9}}\pi .\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{r}\lambda =2\cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi ,2\cos {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi ,2\cos {\displaystyle \frac{8}{9}}\pi .\end{array}$$