周期的なインデックスについての多重ゼータ値の漸近的振る舞い

私は解析の人間なのであまり数論的なモチベーションを持っていないのですが、面白い話題だと思ったので記事として公開しようと思います。

イントロ

この記事は Wataruさんのツイート に対する解答を与えることが目的である。

まず、反復積分表示を思い出す。

$K_{\epsilon }(x,y):=w_{\epsilon }(y){\mathbf{1}}_{x\le y}$という$x,y\in [0,1]$についての非負関数（ただし$x>y$上では0）について、
$$(K^{\prime }\times K)(x,z):=\int K^{\prime }(x,y)K(y,z)\mathrm{d}y,(Kf)(x):=\int K(x,y)f(y)\mathrm{d}y$$
のように行列積のような計算ルールを入れると、反復積分表示は
$$\zeta (\mathbf{k})=(K_{{\epsilon }_1}\times \cdots \times K_{{\epsilon }_k}\mathbf{1})(0)=:(K_{\mathbf{e}}\mathbf{1})(0)$$
定数関数$\mathbf{1}$に$K_{\epsilon }$を何回も施したものになる。特に、インデックスの許容性はこの値が有限になることを意味する。なお、途中で値が無限大の点が出てくるのは問題がない、非負関数しか積分していないので無限大も許して計算できる。
$$K_{\mathbf{e}}(x,y)={\int }_{x\le t_1\le \cdots \le t_{k-1}\le y}{w}_{{\epsilon }_1}(t_1)\dots w_{{\epsilon }_{k-1}}(t_{k-1})w_{{\epsilon }_k}(y)\mathrm{d}{t}_1\dots \mathrm{d}{t}_{k-1}\text{ただし}x>y\text{なら0}$$
について、$\zeta ({\mathbf{k}}^n)=(K_{\mathbf{e}}^n\mathbf{1})(0)$である。上のような計算ルールは$K$を核に持つ積分作用素$T_K$の積として本当の行列積となり、その作用素を調べることでべき乗$T_K^n(\mathbf{1})(0)=\zeta ({\mathbf{k}}^n)$に関する漸近表示を得る。

ややラフな説明

より一般に$[0,1{]}^2$上の関数$K(x,y)$が与えられたとき、作用素$T_K$を
$$(T_{K}f)(x):={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)\mathrm{d}y$$
と定め、$K$を核関数と呼びます。どの関数空間上で考えるべきかは状況に依りますが、今回は$K$の正値性を生かしたいので連続関数環$C[0,1]$上で考えます。核自体が連続なら上の$T_K$は$C[0,1]$から$C[0,1]$への線形写像を明らかに与えますが、多少不連続だったりしてもjump pointが大人しかったら案外全然大丈夫だったりします。

積分作用素の積は積分作用素だが、$V^k$の対応する核は
$$K(x,y)=\frac{(y-x{)}^{k-1}}{(k-1)!}{\mathbf{1}}_{x\le y}$$
である。一般の積分作用素のべき乗はそんな綺麗な形の核を当然持たないので、Volterra作用素の核と比較する術を作る。

$\approx$の意味は後ろの方でちゃんと説明します。

ここでの$\approx$の意味は後で説明します。

最後に元々の核関数について$w_K$を計算する。
$$K_{\mathbf{e}}(x,y)={\int }_{x\le t_1\le \cdots \le t_{k-1}\le y}{w}_{{\epsilon }_1}(t_1)\dots w_{{\epsilon }_{k-1}}(t_{k-1})w_{{\epsilon }_k}(y)\mathrm{d}{t}_1\dots \mathrm{d}{t}_{k-1}\text{ただし}x>y\text{なら0}$$
$x\approx y$のとき$t_i\approx y$だから
$\begin{array}{rl}K(x,y)& \approx {\int }_{x\le t_1\le \cdots \le t_{k-1}\le y}{w}_{{\epsilon }_1}(y)w_{{\epsilon }_2}(y)\dots w_{{\epsilon }_k}(y)\mathrm{d}{t}_2\dots \mathrm{d}{t}_k\\ & =w_1(y{)}^r{w}_0(y{)}^{k-r}\frac{(y-x{)}^{k-1}}{(k-1)!}\end{array}$
故に$w_K(y)=w_1(y{)}^r{w}_0(y{)}^{k-r}$であり、その$\frac{1}{k}$乗の積分$A$はベータ関数のことである。故に上の補題より主定理を得る。

$\approx$のあたり

$C[0,1]$の順序構造がようやく生きる、それは各点毎の大小のことであるが。
$$K\le K^{\prime }\stackrel{\text{def}}{⟺}\mathrm{\forall }x,yK(x,y)\le K^{\prime }(x,y)$$
$$f\le f^{\prime }\stackrel{\text{def}}{⟺}\mathrm{\forall }xf(x)\le f^{\prime }(x)$$
$$K\le K^{\prime },f\le f^{\prime }\Rightarrow T_{K}f\le T_{K^{\prime }}{f}^{\prime }$$
ここら辺から$K_0\le K\le K_1\Rightarrow (T_{K_0}^n\mathbf{1})(0)\le (T_K^n\mathbf{1})(0)\le (T_{K_1}^n\mathbf{1})(0)$が出る。

これを元に補題4とその証明を読み直すとちゃんと証明になっている。

問題

ここにあった問題は 別記事 で解決しました。