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$$
はじめに
$\Gamma\subset \SL_2(\Z)$を合同部分群とする．
モジュラー形式の素晴らしい教科書[Diamond-Shurman]によるとカスプ形式とは以下のような特別なモジュラー形式です:
$f$を$\Gamma$に関する重さ$k$のモジュラー形式とする．$f$がカスプ形式であるとは
$$
\lim_{t\to\infty}f|_{[\alpha]_k}(it)=0\ (\alpha\in \SL_2(\Z))
$$
であることを言う（上の左辺はしばしば$f|_{[\alpha]_k}(i\infty)$と略記される）．
（これが本にある「フーリエ展開の定数項が$0$」という定義と同値なのは明らかである）
しかし現場では$\alpha$をもっと広い行列に取りたい時がある（例えばテータ関数からなるカスプ形式を扱うとき$\alpha$をAtkin-Lehner対合に取りたい時など）．
この記事では$\alpha$は実はもっと広い行列（以下に書く$H$の元）にとっても良いことを示す．
本題
部分群$H\subset \GL_2(\R)^{+}$（$+$は行列式が正であることを示す）は次の2条件を満たしているとする：
作用$H\curvearrowright \left(\Q\cup\{\infty\}\right)$は可移，即ち$H\infty=\Q\cup\{\infty\}$.
$\SL_2(\Z)\subset H$
このような$H$として次のようなものが取れる：
$H=\SL_2(\Z), \GL_2(\Q)^{+}, Z(\GL_2(\R))^+\GL_2(\Q)^{+}$（ただし$Z(G)$は群$G$の中心）.
$f$を$\Gamma$に関する重さ$k$のモジュラー形式とする．このとき以下は同値：
(a) 類$[r]:=\Gamma r\ (r\in \Q\cup\{\infty\})$を$\Gamma$のカスプとする．$r=h\infty$なる$h\in H$に対して
$$
f|_{[h]_k}(i\infty)=0．
$$
(b)
$$
f|_{[h]_k}(i\infty)=0\ (h\in H)．
$$
(c) $f$はカスプ形式，即ち
$$
f|_{[\alpha]_k}(i\infty)=0\ (\alpha\in \SL_2(\Z))．
$$
(a)$\implies$(b)
$H$の左剰余類への分割
$$
H=\bigsqcup_{i\in I} \Gamma h_i
$$
を考える．$f$の$\Gamma$モジュラー性より各$i$について$h=h_i$に対する(b)を示せば良い．
ここで$r_i:=h_i\infty \in \Q\cup\{\infty\}$とすると$H\curvearrowright \left(\Q\cup\{\infty\}\right)$が可移なのでこれらは$\Gamma$のカスプの全てを表す：
$$
\Gamma\setminus\left(\Q\cup\{\infty\}\right)
=\set{[r_i]}{i \in I}
$$
(実際$r\in \Q\cup\{\infty\}$に対して$r=h\infty\ (h\in H)$と書けば，ある$\gamma\in\Gamma$と$i$があって$h=\gamma h_i$より$r=\gamma h_i\infty=\gamma r_i$となる．よって$[r]=[r_i]$.)
従って仮定(a)より$f|_{[h_i]_k}(i\infty)=0$.
(b)$\implies$(c)
$\SL_2(\Z)\subset H$より明らか．
(c)$\implies$(a)
$r\in \Q\cup\{\infty\}$で$r=h\infty\ (h\in H)$であるとしよう．$\SL_2(\Z)
\curvearrowright \left(\Q\cup\{\infty\}\right)$も可移であるからある
$\alpha\in\SL_2(\Z)$を用いて
$$
r=\alpha\infty
$$
とかける．
よって$\alpha^{-1}h\infty=\infty$だが，$\infty$を固定する行列は上三角行列$U$であるので
$$
\alpha^{-1}h=U
$$
とかける．
以上より$U=
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&d
\end{pmatrix}$と書けば，仮定(c)より,
\begin{align}
f|_{[h]_k}(z)&=f|_{[\alpha U]_k}\\
&= d^{-k}(f|_{[\alpha]_k})(Uz)\\
&\to 0\ (z\to i\infty)．
\end{align}
終わりに
カスプ形式の定義の$\alpha\in \SL_2(\Z)$というのは実は非本質的な箇所であることがわかった．結局は$\Gamma$のカスプをカバーできる行列ならなんでも良いのである．しかしこのことについて言及した文献が見当たらなかったので今回このような記事を書いた．
