解を知らなくても無限積表示できる！？ランベルト級数でゴリ押し

今回の方法を使えば、いい感じの関数なら、解を知らなくても無限積表示を得ることができる？！
因数分解ではないことに注意。
実用性は、で、どうしよう。くらい

準備

メビウス関数、反転公式については、他人ですが
こちらのサイト 1参考。

本題

簡単な式変形で無限積が現れる。 　

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k}$
であるとする。(定数項が0の関数)

ランベルト級数にすると

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\frac{x^k}{1-x^k}}$

$x$で割る

${\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\frac{x^{k-1}}{1-x^k}}$

0からxまで積分
しれっと項別積分
左辺、発散しそうな気がするけど$f(x)$は定数項が0だったので可積分。

${\displaystyle {\int }_0^x\frac{f(t)}{t}dt=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_k}{k}\log (1-x^k)}$

係数を$\log$の中にいれる

${\displaystyle {\int }_0^x\frac{f(t)}{t}dt=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\log {((1-x^k)}^{-\frac{A_k}{k}})}$

$\log$の和は、積の$\log$なので

${\displaystyle {\int }_0^x\frac{f(t)}{t}dt=\log \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^k{)}^{-\frac{A_k}{k}}}$

きたー。
よって、関数$g(x)$の無限積表示が欲しいなら、
${\displaystyle g(x)=\exp ({\int }_0^x\frac{f(t)}{t}dt)}$
となる$f(x)$の、テイラー展開ができればいい。
それはつまり$f(x)={\displaystyle \frac{x{g}^{\prime }(x)}{g(x)}}$。
$g(x)$が$x=0$で正則であれば$f(x)$は定数項が0となる。

また、対数微分の性質から、定数倍が消えるので、$g(0)=1$である事が必要
↑説明になってるか、？

結論

結局、まとめると

ただし、因数分解ではないので、収束する範囲は限られる。
多分、$|x|<1$に解も極も無ければ範囲は$|x|<1$、あればそこまで。但しこれは予想。

例

これによる無限積を紹介。
指数関数、五角数定理のやつ。

指数関数の無限積表示って、案外珍しい？

$e^x$

$f(x)=e^x$とすると、$f(0)=1$で、これは正則関数。

$\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=x$より、

$a_n=\{\begin{array}{l}1(n=1)\\ 0(otherwise)\end{array}$

よって
$A_n=\mu (n)$

という事で

ほんまかいな　って感じだが、グラフを見ると

薄い赤が$e^x$
青が無限積を$k=10$で止めたもの

うおお。
収束もはやそう。

約数関数の母関数

約数関数
${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d}$
の母関数
$G(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sigma (k)x^k}$
に対し、

$f(x)={\displaystyle \exp ({\int }_0^x\frac{G(t)}{t}dt)}$
とした関数

つまり$a_n=\sigma (n)$となる。
メビウス反転公式から、
$A_n=n$

よって

$f(x)={\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-x^k}}$

これと、オイラーの五角数定理を使えば、約数関数の漸化式が得られる。

おわりに

自分で思いついて、書いただけなので、本題については参考文献ありません
最初の項別積分とか、収束半径(そもそも半径かも分からん)とか、詳しくしてないとこがあるので、もっと条件がある気がしなくもない。

間違い等あれば指摘ください